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| Aufgabe | H1. Lineare Teilräume:
Überprüfen sie für jeder der Teilmengen, ob se ein Teilraum von [mm] R^3 [/mm] ist und begründen sie ihre Antwort
[mm] a)T_1:={ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 =0 }
[/mm]
[mm] b)T_2:={ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 \leq 0 }
[/mm]
[mm] c)T_3:={ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|2x_1 +3x_2 +4x_3 =0 }
[/mm]
[mm] d)T_4:={ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 +x_2 +x_3 =3 } [/mm] |
Hey ich habe das Semester über wegen ein paar andere Veranstaltungen Mathe ein wenig ins Hintertreffen geraten lassen und wollte das jetzt nachholen.
Ich hab mir den Text im Skript durchgelesen und soweit ich es verstanden habe ist ein Vektorraum eine Menge, von z.B. Vektoren und Skalaren, bei der alle Vektoren, die als Addition zweier Vektoren einen Vektor ergeben, der ebenso in der Menge des Vektorraums liegt.
Genauso liegt das Produkt eines in der Menge enthaltenen Vektors mit einem Skalar auch in der Menge.
Eine Teilmenge dieses Vektorraums ist dann der Unterraum dieses Teilraums oder?
Ich hab die Lösung für die Aufgabe vor mir, aber mir fehlt das Verständnis dafür, was Vektorraum oder Unterraum eigentlich bedeutet und warum 0 zwingend Teil des Vektorraums sein muss.
Falls mir jemand da ein paar Tipps geben könnte wäre das eine tolle Sache.
mit freundlichen Grüßen
moffetoff
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Hallo moffeltoff,
Mengenklammer mache mit vorangehendem Backslash [mm] \
[/mm]
Sonst werden sie nicht angezeigt.
Ich habe es hier editiert ...
> H1. Lineare Teilräume:
> Überprüfen sie für jeder der Teilmengen, ob se ein
> Teilraum von [mm]R^3[/mm] ist und begründen sie ihre Antwort
> [mm]a)T_1:=\{ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 =0\}[/mm]
> [mm]b)T_2:=\{ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 \leq 0 \}[/mm]
>
> [mm]c)T_3:=\{ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|2x_1 +3x_2 +4x_3 =0 \}[/mm]
>
> [mm]d)T_4:=\{ (x_1, x_2, x_3) \in R^3|x_1 +x_2 +x_3 =3 \}[/mm]
> Hey
> ich habe das Semester über wegen ein paar andere
> Veranstaltungen Mathe ein wenig ins Hintertreffen geraten
> lassen und wollte das jetzt nachholen.
> Ich hab mir den Text im Skript durchgelesen und soweit ich
> es verstanden habe ist ein Vektorraum eine Menge, von z.B.
> Vektoren und Skalaren, bei der alle Vektoren, die als
> Addition zweier Vektoren einen Vektor ergeben, der ebenso
> in der Menge des Vektorraums liegt.
> Genauso liegt das Produkt eines in der Menge enthaltenen
> Vektors mit einem Skalar auch in der Menge.
> Eine Teilmenge dieses Vektorraums ist dann der Unterraum
> dieses Teilraums oder?
Puh, da ist einiges Wahres dran, aber sehr schwurbelig formuliert.
Du hast einen Vektorraum [mm]V[/mm] über einem Körper [mm]\IK[/mm] (was ist das? --> unbedingt nachschlagen und nacharbeiten!)
Eine nicht leere Teilmenge [mm]U\subset V[/mm] heißt Untervektorraum (Teilraum) von [mm]V[/mm], wenn
1) Für alle [mm]x,y\in U: x+y\in U[/mm] (Abgeschlossenheit von $U$ bzgl. Vektoraddition)
2) Für alle [mm]\lambda\in\IK[/mm] und für alle [mm]x\in U[/mm] ist auch [mm]\lambda\cdot{}x\in U[/mm] (Abgeschlossenheit von $U$ bzgl. Multiplikation mit Skalaren)
Die Eigenschaft, nichtleere Teilmenge zu sein (zusammen mit 1) und 2)), ist äquivalent dazu, dass [mm]0\in U[/mm] (0 der Nullvektor in V)
> Ich hab die Lösung für die Aufgabe vor mir, aber mir
> fehlt das Verständnis dafür, was Vektorraum oder
> Unterraum eigentlich bedeutet und warum 0 zwingend Teil des
> Vektorraums sein muss.
Nun, wenn [mm]U\neq\emptyset[/mm], so ex. ein [mm]x\in U[/mm]
Nun überlege, wie du aus 1) und 2) folgern kannst, dass [mm]0\in U[/mm] liegen muss ...
> Falls mir jemand da ein paar Tipps geben könnte wäre das
> eine tolle Sache.
Naja, die VL nacharbeiten können wir hier nicht, Hilfen zur Lösung bzw. Fragen zur Lösung klären wohl.
Also frage konkret nach, was dir unklar ist.
Als erstes kläre mal den Begriff "Vektorraum" über einem Körper [mm]\IK[/mm]
Was ist das?
Schlag mal die Definition nach und schaue, ob du sie verstehst und wenn nicht, frage konkret nach, was dir nicht klar ist ..
Versuche am besten mal, die Definition in eigenen Worten verbal zusammenzufassen ...
>
> mit freundlichen Grüßen
>
> moffetoff
Gruß
schachuzipus
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