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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Di 27.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
| Aufgabe | | $A [mm] \times [/mm] B$ sei gegeben. Berechnen Sie [mm] $\nabla \times [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)$ |
Was genau muss ich machen?
Ich habe jetzt erst einmal
$A [mm] \times [/mm] B$=V= [mm] \vektor{V_1 \\ V_2 \\ V_3}$ [/mm] gesetzt.
[mm] $\nabla =\vektor {\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}}$
[/mm]
Also ist :
[mm] $\nabla \times [/mm] (A [mm] \times B)=\nabla \times V=\vektor{ \frac{\partial V_3}{\partial y} - \frac{\partial V_2}{\partial z}\\ \frac{\partial V_1}{\partial z} - \frac{\partial V_3}{\partial x} \\ \frac{\partial V_2}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial y}}$
[/mm]
Ist das schon die Lösung der Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 27.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke die aufgabe macht nur Sinn wenn du A und B bzw [mm] A\times [/mm] B einsetzt. sonst hätte da direckt gestanden bestimme [mm] \nabla [/mm] V
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 27.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Mich irritiert aber, dass $A [mm] \times [/mm] B$ gegeben ist.
Muss ich jetzt also lieber schreiben
$ [mm] \nabla \times [/mm] (A [mm] \times B)=\vektor{ \frac{\partial (a_1b_2-a_2b_1)}{\partial y} - \frac{\partial (a_3b_1-b_3a_1)}{\partial z}\\ \frac{\partial (a_2b_3-b_2a_3)}{\partial z} - \frac{\partial (a_1b_2-a_2b_1)}{\partial x} \\ \frac{\partial (a_3b_1-a_1b_3)}{\partial x} - \frac{\partial (a_2b_3-a_3b_2)}{\partial y}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 27.11.2012 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 27.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Allerdings bin ich etwas verwundert wegen der rechenregel des Nabla Operators bei Wikipedia dort steht:
[mm] $\overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})=(\overrightarrow{B} [/mm] * [mm] \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}(\overrightarrow{\nabla} [/mm] * [mm] \overrightarrow{A})+\overrightarrow{A}(\overrightarrow{\nabla} [/mm] * [mm] \overrightarrow{B})-(\overrightarrow{A} [/mm] * [mm] \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{B}$
[/mm]
Ist das nicht so viel wie:
[mm] $\overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})=2 [/mm] * [mm] (\overrightarrow{B} [/mm] * [mm] \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}-2*\overrightarrow{B}(\overrightarrow{\nabla} [/mm] * [mm] \overrightarrow{A})$
[/mm]
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Morgen,
Du meinst:
[mm] (\overrightarrow{B} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}=\overrightarrow{A}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{B}).
[/mm]
Ist ähnlich dem: [mm] \left(\vektor{a\\b\\c}*\vektor{d\\e\\f}\right)*\vektor{g\\h\\i}=\vektor{a\\b\\c}*\left(\vektor{d\\e\\f}*\vektor{g\\h\\i}\right)
[/mm]
Berechnen wir die Seiten:
[mm] (ad+be+cf)\vektor{g\\h\\i}=\vektor{a\\b\\c}*(dg+eh+fi)
[/mm]
[mm] \vektor{adg+beg+cfg\\adh+beh+cfh\\adi+bei+cfi}=\vektor{dga+eha+fia\\dgb+ehb+fib\\dgc+ehc+fic}
[/mm]
Also folgt: [mm] (\overrightarrow{B} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}\not=\overrightarrow{A}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{B})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 28.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Achso ok und wie würden Sie die Aufgabe lösen? Wieso sollte da stehen dass $F [mm] \times [/mm] G$ gegeben ist?
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Hallo lukas,
> Achso ok und wie würden Sie die Aufgabe lösen?
Ein "du" reicht in diesem Forum :)
> Wieso
> sollte da stehen dass [mm]F \times G[/mm] gegeben ist?
Ich erkenne dein Problem. Aber ehrlich gesagt, macht die Aufgabe andernfalls ja nun wirklich kaum einen Sinn. Denn wenn wirklich bereits das Produkt [mm] A\times{B} [/mm] gegeben ist, dann könnte man durchaus [mm] V:=A\times{B} [/mm] setzen.
Ich denke jedoch, dass eben doch eher nach $ [mm] \nabla \times [/mm] (A [mm] \times B)=\vektor{ \frac{\partial (a_1b_2-a_2b_1)}{\partial y} - \frac{\partial (a_3b_1-b_3a_1)}{\partial z}\\ \frac{\partial (a_2b_3-b_2a_3)}{\partial z} - \frac{\partial (a_1b_2-a_2b_1)}{\partial x} \\ \frac{\partial (a_3b_1-a_1b_3)}{\partial x} - \frac{\partial (a_2b_3-a_3b_2)}{\partial y}} [/mm] $ gefragt ist.
Warum also [mm] A\times{B} [/mm] gegeben? Vielleicht möchte man damit verdeutlichen, dass dieses Kreuzprodukt überhaupt existiert. Schließlich könnte ja A oder B kein dreidimensionaler Vektor sein.
Möchtest du die Darstellung wie bei Wikipedia, dann einfach mal an die bac-cab-Regel denken, bzw. etwas schöner gesagt, an die Graßmann-Identität. Zur Berechnung eignet sich da auch die gesamte Geschichte mit dem Levi-Civita.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 28.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Wieso steht dann bei Wikipedia unter Nabla Operator die rechenregel:
$ [mm] \overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})=(\overrightarrow{B} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{A})+\overrightarrow{A}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{B})-(\overrightarrow{A} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{B} [/mm] $
Obwohl man das auch mit der Graßmann-Identität lösen kann?
Das widerspricht sich doch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 28.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein die Grassman Id. gilt nicht für den Dufferentialoperator, wo das Kreuzprodukt ja nur symbolisch ist, also eine merkregel. aber beim Differenzieren gibt es ja auch noch Produktregeln! Daraus ergibt sich die Regel in wiki
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 28.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Ok dann versuch ichs mal mit der wiki regel:
$ [mm] \overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})=(\overrightarrow{B} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{A})+\overrightarrow{A}(\overrightarrow{\nabla} \cdot{} \overrightarrow{B})-(\overrightarrow{A} \cdot{} \overrightarrow{\nabla}) \overrightarrow{B} [/mm] $
[mm] $\overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})=(\frac{b_1 \partial}{\partial x} [/mm] + [mm] \frac{b_2 \partial}{\partial y} [/mm] + [mm] \frac{b_3 \partial}{\partial z}) \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] - [mm] \vektor{b_1 \\ b_2\\b_3} (\frac{\partial a_1}{\partial x} [/mm] + [mm] \frac{ \partial a_2}{\partial y} [/mm] + [mm] \frac{ \partial a_3}{\partial z}) [/mm] + [mm] \vektor{a_1\\a_2\\a_3}(\frac{\partial b_1}{\partial x} [/mm] + [mm] \frac{\partial b_2}{\partial y} [/mm] + [mm] \frac{\partial b_3}{\partial z})-(\frac{a_1 \partial}{\partial x} [/mm] + [mm] \frac{a_2 \partial}{\partial y} [/mm] + [mm] \frac{a_3 \partial}{\partial z}) \vektor{b_1\\b_2\\b_3}
[/mm]
Ist das so richtig ? was mache ich nun ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 28.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Ausrechnen und mit der Produktregel rückwärts zusammenfassen:
[mm] $a\bruch{\partial b}{\partial x} [/mm] + [mm] b\bruch{\partial a}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial (a \cdot b)}{\partial x}$.
[/mm]
Dann landest Du wieder bei dem, was Du schon hattest, wenn alles richtig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 28.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Kann mir jemand das eventuell für die 1. "Vektorzeile" vormachen? Bei so vielen Variablen sehe ich nicht mehr durch was zueinander gehört :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
das ist doch reine schreibarbeit, es werden doch nur die Komponenten mit den Klammern multipliziert, warum sollen wir das machen. das Zusammenfasen hat dir ja chrisno gezeigt, und das endergebnis kennst du auch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Do 29.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Tut mir leid aber ich weiß wirklich nicht, was ich wie kombinieren soll und wieso in der ersten Vektorzeile die partiellen ableitungen nach x wegfallen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du im ersten ausdruck mit dem ersten Term der Klammer mult, und den 2 ten ausdruck der negati ist auch steht da doch 2 mal dasselbe mit entgegengesetzten Vorzeichen??
schreib doch erst mal für die 1. Komponente nur die Terme mit Ableitung nach x hin!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Do 29.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
also [mm] $\frac{b_1 \partial a_1}{\partial x},\frac{b_1 \partial a_2}{\partial x}, \frac{b_1 \partial a_3}{\partial x}$ [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab von der ersten Komponente der Vektoren geredet, das sind die [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_1
[/mm]
schreib doch mal einfach alles für die ersten Komponenten hin, dann siehst du, was sich weghebt!
man muss auch mal was aufschreiben und 4 Klammern mit den ersten Komp. zu multiplizieren ist nicht sooo viel
gute Nacht leduart
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