NEWTON-Verfahren < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 08.01.2005 | | Autor: | chegga |
hallo
ich beschäftige mich gerade mit dem Newtonverfahren...
Ich habe jedoch Probleme mit der Konvergenzbedingung:
| ( f(x) * f''(x) ) / (f'(x))² | < 1
Wenn diese Bedingung für den Startwert oder die Folgewerte erfüllt wird für das Newtonverfahren zum Erfolg.
Doch wie komm ich auf die obere Gleichung/Bedingung??
Gibt es dafür auch eine geometrische Erklärung/Herleitung???
Gruß
Marco
|
|
| |
|
Den Sinn des Newtonverfahrens habe ich glaube ich jetzt soweit erfasst, ABER ICH VERSTEHE DIE TABELLEN NICHT!!!
wie kommt man auf so etwas?
x=1 f(x)=0,25 f'(x)=2,25
x=0,8888888981 f(x)=0,0233196329 f'(x)=1,842592745
x=0,876233018 f(x)=0,0002649266 f'(x)=1,8008857368
x=0,8760859089 f(x)=3,51e-8 f'(x)=1,8004074157
x=0,8760858894 f(x)=0
Ausgangsgleichung ist [mm] p(x)=x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 1,25x - 1 bei x0=1
Und ab der 2. Zeile komme ich nicht mehr mit, wie z.B. kommt man auf 0,8888888981???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Du setzt einfach die Zahlen in die Iterationsfunktion ein:
[mm] x_{0}=1, f(x_{0}) [/mm] = 0.25, [mm] f'(x_{0})=2.25
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] it_{Newton}(x_{0}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{0.25}{2.25} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} [/mm] = 0.88888....
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Ich habe jedoch Probleme mit der Konvergenzbedingung:
>
> | ( f(x) * f''(x) ) / (f'(x))² | < 1
>
> Wenn diese Bedingung für den Startwert oder die Folgewerte
> erfüllt wird für das Newtonverfahren zum Erfolg.
Das stimmt nicht ganz. Wenn diese Bedingung für den Startwert gilt, muss noch lange keine Nullstelle vorhanden sein. Es gilt vielmehr folgendes:
Wenn für einen Bereich um die gesuchte Nullstelle diese Bedingung gilt, dann konvergiert die Newton-Annäherungsfolge mit einem hinreichend nahen Startwert gegen die Nullstelle.
> Doch wie komm ich auf die obere Gleichung/Bedingung??
> Gibt es dafür auch eine geometrische
> Erklärung/Herleitung???
Eine geometrische Motivation gibt es sowohl für die Newton-Iterationsfunktion (f'(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x):
[mm] it_{Newton}: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x - [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
als auch für die Konvergenzbedingung:
[mm] |\bruch{f(x)*f''(x)}{f'(x)^{2}}| [/mm] < 1
Bei der Newton-Iterationsfunktion betrachtet man einfach die durch Einzeichnen der Tangente und Bestimmung der Nullstelle dieser Tangente definierte Iteration.
Die Konvergenzbedingung ist ein Spezialfall einer allgemeinen Konvergenzbedingung für differenzierbare Iterationsfunktionen. Wenn it: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine differenzierbare Iterationsfunktion ist und [mm] x_{0} [/mm] ein Fixpunkt, d. h. [mm] it(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}, [/mm] und wenn [mm] |it'(x_{0})|<1, [/mm] dann konvergiert ein x-Wertfolge mit hinreichend nahem Startwert gegen [mm] x_{0}. [/mm] Du kannst ja mal zum Nachvollziehen die Newton-Iterationsfunktion ableiten, also [mm] it_{Newton}'(x) [/mm] berechnen, und wirst sehen, dass es passt.
Gruß Clemens
P.S. Zum Konvergenzkriterium: Vielleicht findest du unter den Stichworten "Fixpunkt", "Iterationsfunktion" und "Konvergenz" was im Internet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 09.01.2005 | | Autor: | chegga |
die konvergenzbedingung ist also die ableitung der IT des NV!?
Wenn die Ableitung <1 ist wieso konvergiert die folge dann gegen den Startwert???
Könntet ihr mir das erklären??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> die konvergenzbedingung ist also die ableitung der IT des
> NV!?
>
> Wenn die Ableitung <1 ist wieso konvergiert die folge dann
> gegen den Startwert???
>
> Könntet ihr mir das erklären??
Die Folge konvergiert nicht gegen den Startwert, sondern gegen die Nullstelle. Und das nur, wenn der Startwert hinreichend nahe an der Nullstelle ist. Konkreter:
Wenn [mm] |it'(x_{0})| [/mm] < 1, dann gibt es aufgrund der Stetigkeit der Ableitung einen Bereich um [mm] x_{0}, [/mm] also [mm] [x_{0} [/mm] - e; [mm] x_{0} [/mm] + e] =: B mit e aus [mm] \IR_{+}, [/mm] so dass für alle x [mm] \in [/mm] B die Gleichung |it'(x)| < g < 1 mit einem g [mm] \in \IR [/mm] gilt. Wenn der Startwert in B liegt, dann konvergiert die Newtonfolge gegen die Nullstelle.
Der Beweis dieses allgemeinen Satz funktioniert darüber, dass man zuerst die fallende Monotonie der Folge [mm] (|x_{0} [/mm] - [mm] x_{n}|)_{n \in \IN} [/mm] zeigt, wobei [mm] x_{0} [/mm] die Nullstelle ist und [mm] x_{n} [/mm] die Folgenwerte, und dann die Konvergenz gegen 0.
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
Hallo Marco,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich beschäftige mich gerade mit dem Newtonverfahren...
>
> Ich habe jedoch Probleme mit der Konvergenzbedingung:
>
> | ( f(x) * f''(x) ) / (f'(x))² | < 1
>
> Wenn diese Bedingung für den Startwert oder die Folgewerte
> erfüllt wird für das Newtonverfahren zum Erfolg.
>
> Doch wie komm ich auf die obere Gleichung/Bedingung??
> Gibt es dafür auch eine geometrische
> Erklärung/Herleitung???
Vielleicht findest du in der Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren weitere Erklärungen?
|
|
|
|
