N-te Partialsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Fr 04.07.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Berechnen Sie die N-te Partialsumme und die Reihensumme (falls diese existiert) der folgenden unendlichen Reihen
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{4n^2 -9}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2}{n(n^2 -1)} [/mm] |
Hallo,
also versuche ein paar Aufgaben zu rechnen und sitze vor dieser Aufgabe und weiß nicht weiter!Ich gehe davon aus, dass ich die Partailbruchzerlegung anwenden muss, aber ich weiß nicht, wie das geht!könnte mir jemand weiterhelfen bitte!Wäre super lieb!
LG
nimet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 04.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die N-te Partialsumme und die Reihensumme
> (falls diese existiert) der folgenden unendlichen Reihen
>
> (a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{4n^2 -9}[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2}{n(n^2 -1)}[/mm]
> Hallo,
> also versuche ein paar Aufgaben zu rechnen und sitze vor
> dieser Aufgabe und weiß nicht weiter!Ich gehe davon aus,
> dass ich die Partailbruchzerlegung anwenden muss, aber ich
> weiß nicht, wie das geht!könnte mir jemand weiterhelfen
> bitte!Wäre super lieb!
>
> LG
> nimet
>
Hallo
mir fällt auf, dass [mm] 4n^2 [/mm] -9=(2n-3)(2n+3) ist und [mm] n(n^2 [/mm] -1)=(n-1)n(n+1).
Du solltest mal eine Partialbruchzerlegung versuchen, vielleicht erhältst du Teleskopsummen.
Gruß Abakus
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Hallo!
Wie abakus schon sagte, sind Partialsummen der richtige Ansatz.
Eine Hilfestellung zur Bildung:
Du willst praktisch
[mm]\bruch{2}{4n^{2}-9} = \bruch{2}{(2n-3)*(2n+3)}[/mm]
in zwei Brüche
[mm]\bruch{A}{2n-3} + \bruch{B}{2n+3}[/mm]
zerlegen. Setze die beiden Seiten gleich und führe Koeffizientenvergleich durch!
[mm]\bruch{2}{(2n-3)*(2n+3)} = \bruch{A}{2n-3} + \bruch{B}{2n+3}[/mm]
[mm]\gdw 2 = A*(2n+3) + B*(2n-3)[/mm]
[mm]\gdw 2 = n*(2A+2B) + 1*(3A-3B)[/mm]
Auf der linken Seiten gibt es keine n's, also muss
[mm]2A + 2B = 0[/mm]
sein. (Sonst gäbe es auf der rechten Seite der Gleichung n's, obwohl es links keine gibt) Auf der linken Seite steht eine 2, also muss
[mm]3A-3B = 2[/mm]
sein. Löse das LGS nach A und B auf und du hast die Partialbruchzerlegung raus! Genauso musst du dann auch bei der zweiten verfahren.
Wenn du die Brüche zerlegt hast, musst du dann gucken, inwiefern sich die beiden Teilbrüche in der Summe rauskürzen!
Z.B. kürzen sich bei der Summe
[mm] \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{1}{k} - \bruch{1}{k+1}\right)
[/mm]
fast alle Glieder vollständig raus, weil praktisch folgendes entsteht:
[mm] \left(\bruch{1}{1} - \bruch{1}{2}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{2} - \bruch{1}{3}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{3} - \bruch{1}{4}\right) [/mm] + ...
und sich so immer der zweite "Summand" des k-ten Gliedes mit dem ersten Summanden des k+1-ten Gliedes kürzt und letztendlich nur
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
übrig bleibt (der erste Summand und der letzte zweite "Summand").
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Sa 05.07.2008 | | Autor: | nimet |
hallo,
also habe die partialbruchzerlegung angewendet,aber bin anders vorangegangen!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(2n-3)(2n+3)}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{(2n-3)(2n+3)}=\bruch{A}{(2n-3)}+\bruch{B}{(2n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{(2n+3)}=A+\bruch{B(2n-3)}{(2n+3)}
[/mm]
2n-3=0 [mm] \gdw n=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] n=\bruch{3}{2} [/mm] eingesetzt [mm] \Rightarrow A=\bruch{2}{6}
[/mm]
analog bin ich da für B vorangegangen und erhalte dafür [mm] B=-\bruch{2}{6}
[/mm]
und erhalte somit meine [mm] PBZ=\bruch{2}{6}\bruch{1}{(2n-3)}-\bruch{2}{6}\bruch{1}{(2n+3)}
[/mm]
ist das richti,wenn ja wie berechne ich jetzt meine Reihensumme???
LG
nimet
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Hallo nimet,
> hallo,
> also habe die partialbruchzerlegung angewendet,aber bin
> anders vorangegangen!
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(2n-3)(2n+3)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{(2n-3)(2n+3)}=\bruch{A}{(2n-3)}+\bruch{B}{(2n+3)}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2}{(2n+3)}=A+\bruch{B(2n-3)}{(2n+3)}[/mm]
>
> 2n-3=0 [mm]\gdw n=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]n=\bruch{3}{2}[/mm] eingesetzt [mm]\Rightarrow A=\bruch{2}{6}[/mm]
>
> analog bin ich da für B vorangegangen und erhalte dafür
> [mm]B=-\bruch{2}{6}[/mm]
>
> und erhalte somit meine
> [mm]PBZ=\bruch{2}{6}\bruch{1}{(2n-3)}-\bruch{2}{6}\bruch{1}{(2n+3)}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, diese PBZ stimmt, du kannst das [mm] $\frac{2}{6}$ [/mm] noch schreiben als [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] und bekommst also: [mm] $\frac{2}{4n^2-9}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}\cdot{}\left[\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+3}\right]$
[/mm]
Du kannst also insgesamt schreiben:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{4n^2-9}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+3}\right)$
[/mm]
>
> ist das richti,wenn ja wie berechne ich jetzt meine
> Reihensumme???
Es ist ja der Reihenwert der GW der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^ka_n}_{=S_k}$
[/mm]
Schreibe dir hier mal solch eine k-te Partialsumme auf:
Es ist [mm] $\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}S_k$
[/mm]
Schreiben wir mal [mm] $S_k$ [/mm] ein bisschen aus:
[mm] $S_k=\left(-1-\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{7}\right)+\left(\blue{\frac{1}{3}}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right)+.....+\left(\frac{1}{2k-9}-\frac{1}{2k-3}\right)+\left(\frac{1}{2k-7}\green{-\frac{1}{2k-1}}\right)+\left(\frac{1}{2k-5}\green{-\frac{1}{2k+1}}\right)+\left(\frac{1}{2k-3}\green{-\frac{1}{2k+3}}\right)$
[/mm]
Wenn du hier genau hinsiehst, heben sich die -1 und 1 aus den ersten beiden Klammern weg und ansonsten immer der zweite Summand einer Klammer mit dem ersten Summanden 3 Klammern weiter - schreibe dir bei Bedarf noch ein paar mehr Zwischensummanden hin..
Letztenendes bleibt: [mm] $S_k=\blue{\frac{1}{3}}\green{-\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{3}$
[/mm]
Das heißt also insgesamt für die Ausgangsreihe ...
> LG
> nimet
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 05.07.2008 | | Autor: | nimet |
super danke!hat mir weitergeholfen!;)
also habe es mal auch für die zweite versucht.
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2}{n(n-1)(n+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n-1}+\bruch{C}{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A=-2 , B=1 und C=-1
also steht bei mir dann als [mm] PBZ=\summe_{n=2}^{\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}]
[/mm]
habe auch die reihenfolge aufgestellt, aber komme auf kein gescheites ergebnis.bei mir steht jetzt:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}]=\limes_{k\rightarrow\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}]=\limes_{k\rightarrow\infty}S_{k}
[/mm]
[mm] S_{k}=(-\bruch{2}{2}+\bruch{1}{1}-\bruch{1}{3})+(-\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})+(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5})+(-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6})+ [/mm] _____ [mm] +(-\bruch{2}{n-3}+\bruch{1}{n-4}-\bruch{1}{n-2})+(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{1}{n-3}-\bruch{1}{n-1})+(-\bruch{2}{n-1}+\bruch{1}{n-2}-\bruch{1}{n})+(-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1})
[/mm]
Bin ich überhaupt richtig????
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Hallo nimet,
> super danke!hat mir weitergeholfen!;)
>
> also habe es mal auch für die zweite versucht.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2}{n(n-1)(n+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n-1}+\bruch{C}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=-2 , B=1 und C=-1
>
> also steht bei mir dann als
> [mm]PBZ=\summe_{n=2}^{\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}][/mm]
>
Richtig muss es heissen:
[mm]PBZ=\summe_{n=2}^{\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}\red{+}\bruch{1}{n+1}][/mm]
>
> habe auch die reihenfolge aufgestellt, aber komme auf kein
> gescheites ergebnis.bei mir steht jetzt:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}]=\limes_{k\rightarrow\infty}[\bruch{-2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}]=\limes_{k\rightarrow\infty}S_{k}[/mm]
>
> [mm]S_{k}=(-\bruch{2}{2}+\bruch{1}{1}-\bruch{1}{3})+(-\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})+(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5})+(-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{6})+[/mm]
> _____
> [mm]+(-\bruch{2}{n-3}+\bruch{1}{n-4}-\bruch{1}{n-2})+(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{1}{n-3}-\bruch{1}{n-1})+(-\bruch{2}{n-1}+\bruch{1}{n-2}-\bruch{1}{n})+(-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1})[/mm]
>
> Bin ich überhaupt richtig????
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 05.07.2008 | | Autor: | nimet |
ok gut danke habe meinen fehler entdeckt! :)
ok habe es neu aufgeschrieben und erhalte für meine reihenfolge:
[mm] (-1+1+\bruch{1}{3})+(-\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4})+(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5})+(-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6})+ [/mm] ___________ [mm] +(-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n-1}+\bruch{1}{n+1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}+(\bruch{1}{3}-\bruch{2}{3})+(\bruch{1}{5}-\bruch{2}{5})+ [/mm] _______ [mm] +(\bruch{1}{n+1}-\bruch{2}{n+1})
[/mm]
ist das denn jetzt richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 05.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, richtig.
Wenn du
$ [mm] (-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n-1}+\bruch{1}{n+1})= (-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n-1}+\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n}) [/mm] $
siehst du noch schneller, was sich weghebt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mo 07.07.2008 | | Autor: | nimet |
ok gut danke leduart ;)
LG
nimet
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> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2}{n(n-1)(n+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{n(n-1)(n+1)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n-1}+\bruch{C}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=-2 , B=1 und C=-1
> Bin ich überhaupt richtig????
ich bekomme C=+1 !
LG
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