N-fach multilinear < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 So 12.03.2006 | | Autor: | Tini21 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich mache bald Zwischenprüfung in Mathe. In Analysis hatten wir einen total chaotischen Professor. In der Vorlesung steht folgendes (gehört wohl eher zur Linearen Algebra): "2-fach multilinear. Man nehme zwei Linearformen [mm] u^{1}, u^{2}, u^{1} \in V_{1}, u^{2} \in V_{2}, [/mm] c [mm] \in [/mm] W
[mm] \alpha(v_{1}, v_{2})=u^{1}(v_{1}) u^{2}(v_{2}) [/mm] c
[mm] \alpha: V_{1}x V_{2}\to [/mm] W 2 fach linear
Ich weiß eigentlich schon was eine Multilinearform ist, aber was das "c" noch da drin soll, das verstehe ich überhaupt nicht. In dem Fall handelt es sich ja eigentlich um eine Bilinearform, ich versuche mir das mit einem Skalarpodukt vorzustellen,aber ich weiß nicht, was dem "c" entsprechen könnte. Oder soll es vielleicht einfach nur eine Konstante sein? Warum ist c aus W? Ich hoffe einfach mal, dass mir jemand helfen kann.....
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 So 12.03.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Tini!
Aaaalso, ich interpretier hier jetzt mal ganz wild rum, was gemeint sein könnte, denn so wie es da steht ergibt es (für mich zumindest) nicht wirklich Sinn.
> Man nehme zwei Linearformen [mm]u^{1}, u^{2}, u^{1} \in V_{1}, u^{2} \in V_{2},[/mm]
Also hier würde ich mal behaupten, es müsste eigentlich heißen: [mm] $u^1 \in L(V_1,K), u^2 \in L(V_2,K)$, [/mm] also aus den Vektorräumen der Linearfromen von [mm] $V_1$ [/mm] bzw. [mm] $V_2$ [/mm] nach K, dem zugrundeliegenden Körper von [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] (beides mal der selbe). Außerdem gehe ich davon aus dass K auch der zugrundeliegende Körper von W ist. Weiterhin sind [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] Elemente aus [mm] V_1 [/mm] bzw. [mm] V_2.
[/mm]
> c [mm]\in[/mm] W
c ist in meiner Theorie also ein beliebiges Element aus dem Vektorraum W.
> [mm]\alpha(v_{1}, v_{2})=u^{1}(v_{1}) u^{2}(v_{2})[/mm] c
> [mm]\alpha: V_{1}x V_{2}\to[/mm] W 2 fach linear
So, nun meine Interpretation, was dieses [mm] $\alpha$ [/mm] macht: Nehme zwei Elemente [mm] $v_1 \in V_1$ [/mm] und [mm] $v_2 \in V_2$. [/mm] Bilde diese beiden Elemente mittels [mm] u^1 [/mm] bzw. [mm] v^1 [/mm] nach K ab, sprich, ich erhalte zwei Skalare. Nun nehme ich mein beliebig gewähltes c und multipliziere da die beiden Skalare aus K dran (deswegen die Annahme, dass der zugrundeliegende Körper von W auch K ist). Das Ergebnis hiervon ist ein Element aus W. Ich habe also mit Hilfe von [mm] u^1, u^2 [/mm] und c zwei Elemente aus [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] nach W abgebildet.
Was hältst du von dieser Theorie?
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Tini21 |
Vielen Danke erstmal für eure Antworten!
@taura: Du hast geschrieben, dass man 2 Skalare erhält und diese dann mit c multipliziert. Könnte es nicht sein, dass man bei diesem Schritt [mm] u^{1}(v_{1}) u^{2}(v_{2}) [/mm] ein skalar bekommt und es dann mit c multipliziert? Das Skalarprodukt ist ja auch eine Bilinearform, kannst du es vielleicht darauf übertragen?
Selbst wenn man c nicht an [mm] u^{1}(v_{1}) u^{2}(v_{2}) [/mm] "dranmultiplizieren" würde, würde es sich doch auch noch um eine Bilinearform handeln, oder?
Deine Erklärung, dass der zugrundeliegende Körper von $ [mm] V_1 [/mm] $ und $ [mm] V_2 [/mm] $ und W K ist, habe ich verstanden und würde dir da zustimmen ......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Tini!
Also, eine 'Form' (linear, bilinear, quadratisch, multilinear, ...) geht üblicherweise in den Grundkörper.
Hier wird einfach eine bilineare Abb. [mm] \alpha [/mm] zwischen den VR [mm] V_{1} \times V_{2} [/mm] und W definiert.
[mm] u^{1} [/mm] ist aus [mm] V_{1}^\times [/mm] usw. Oder wie schon gesagt aus [mm] L(V_{1},K), [/mm] das ist dasselbe.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Tini21 |
Und warum multipliziert man noch mit c? Das hätte man doch auch weglassen können, oder?
ist $ [mm] u^{1} (v_{1}) [/mm] schon in W oder wird es erst durch die Multiplikation mit [mm] u^{2} (v^{2}) [/mm] ein Element von W?
Vielen Danke für die Antwort!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Und warum multipliziert man noch mit c? Das hätte man doch
> auch weglassen können, oder?
Nee Tini, dann wäre man ja in K und hätte eine Form. Dein Prof. will aber aus irgendwelchen Gründen nach W!
> ist $ [mm]u^{1} (v_{1})[/mm] schon in W oder wird es erst durch die
> Multiplikation mit [mm]u^{2} (v^{2})[/mm] ein Element von W?
Auch damit noch nicht. Das c ist entscheidend!
Mit deiner Fächerkombination kannst du das prima bei Bourbaki, Algèbre multilinéaire nachlesen! Spannend, sag ich nur, sehr sehr spannend  !
Es ist einfacher als du denkst, glaub es mir.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Tini21 |
Vielen Danke für die Mühe, ich bin echt soooooooo froh, dass mir hier jemand helfen kann, bin schon total am verzweifeln mit dem ganzen Prüfungsstoff.....
Ok, dass es ohne c nicht in W landet sehe ich jetzt ein ;) aber noch eine Frage hab ich dann:
ist $ $ [mm] u^{1} (v_{1}) [/mm] $ schon in K oder wird es erst durch die
> Multiplikation mit $ [mm] u^{2} (v^{2}) [/mm] $ ein Element von K?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Vielen Danke für die Mühe, ich bin echt soooooooo froh,
> dass mir hier jemand helfen kann, bin schon total am
> verzweifeln mit dem ganzen Prüfungsstoff.....
Das kommt ja gut, Tini!
> Ok, dass es ohne c nicht in W landet sehe ich jetzt ein ;)
> aber noch eine Frage hab ich dann:
>
> ist $ $ [mm]u^{1} (v_{1})[/mm] $ schon in K
Klar ist das in K!
> oder wird es erst durch
> die
> > Multiplikation mit [mm]u^{2} (v^{2})[/mm] ein Element von K?
Das ist auch in K, und weil K ein Körper ist, liegt das Produkt auch wieder in K.
Feierabend
Dieter
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Hallo zusammen, einen guten Morgen und frohen
Wochenanfang Euch allen !
Eigentlich bilden Formen immer in de Koerper ab, d.h. es waere c [mm] \in [/mm] W, W der zugrundeliegende
Koerper, ansonsten alles wie gehabt.
Allgemein gilt ja: Wenn K ein Koerper ist und V ein K-Vektorraum, dann heisst
[mm] \alpha\colon V^N\to [/mm] K
(fuer [mm] N\in\IN, [/mm] angemerkt: N ist nicht notwendig die Dimension von V)
multilinear, um genau zu sein: N-linear, oder Multilinearform, falls gilt:
[mm] \alpha (u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_{i-1} ,\underbrace{\lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2}_{Stelle\: i},u_{i+1},\ldots [/mm] , [mm] u_N [/mm] )
= [mm] \lambda_1\cdot \alpha (u_1, \ldots [/mm] , [mm] u_{i-1} [/mm] , [mm] v_1, u_{i+1},\ldots [/mm] , [mm] u_N)
[/mm]
+ [mm] \lambda_2\cdot \alpha (u_1, \ldots [/mm] , [mm] u_{i-1} [/mm] , [mm] v_2, u_{i+1},\ldots [/mm] , [mm] u_N)
[/mm]
Wenn [mm] \alpha\colon V^N\to [/mm] K eine Multilinearform ist und [mm] c\in [/mm] K, so ist auch
[mm] \beta\colon V^N\to K,\:\: \beta (v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_N):=\:\: c\cdot\: \alpha (v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_N)
[/mm]
eine Multilinearform.
Viele Gruesse,
Mathias
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