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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:28 Do 16.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Matheräumler
an mich wurde die Bitte getragen, zu folgender Aufgabe eine Musterlösung zu erstellen, damit man sich evtl. daran etwas orientieren kann.
Ich will das hier einmal versuchen zu machen, und streue auch noch einige Erklärungen ein.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{4(2x-1)}{(1-x)^2}$
[/mm]
a) Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch.
b) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f für $-4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6$.
c) Bestimmen sie die Steigung der Wendetangente von f.
d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Graphenpunktes P von f, dessen Tangente die gleiche Steigung wie die Wendetangente besitzt.
e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente vom Punkt Q(1/0) an den Graph von f.
f) Für welche x-Werte schneidet der Graph von f aus einer Parallelen zur x-Achse eine Strecke der Länge 1 heraus?
Als Hinweis wurde noch gegeben: Keine Grenzwertbetrachtung nötig, Angabe von Asymptoten in einfacher Darstellung ausreichend.
Soviel zur Aufgabe.
Eine mögliche Lösung folgt in Kürze.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Do 16.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Anmerkung: während meiner Schulzeit wurde nie erklärt, was denn alles genau zu einer Kurvendiskussion gehört, und ich weiss es bis heute noch nicht. Deshalb stelle ich einfach mal zusammen, was mir so in den Sinn kommt, was man da diskutieren könnte.
a1) Bestimmung des Definitionsbereiches
a2) Bestimmung der Pole
a3) Bestimmung der Nullstellen
a4) Bestimmung der stationären Punkte, also der lokalen Extrema
a5) Bestimmung der Wendestellen
a6) Bestimmung der Asymptotengleichung, falls vorhanden
a7) Als Zugabe eventuell Bestimmung des Wertebereichs (oder ist das der Wertevorrat? das verwechsle ich immer, ich habe noch keine Eselsleiter gefunden. Da ich a7) hier nicht zu lösen gedenke, fehlt mir auch die Motivation, die Definition dieser Begriffe wieder zu suchen.)
Also, frisch gewagt! 
a1) Bestimmung des Definitionsbereiches
Da nicht durch Null dividiert werden darf, gehören alle x-Werte, die den Nenner zu Null werden lassen, nicht zum Definitionsbereich. Zu lösen ist also die Gleichung:
[mm] $(x-1)^2=0$
[/mm]
$(x-1)(x-1)=0_$
[mm] $\Rightarrow x_1=1;\,x_2=1$
[/mm]
Das ist also eine doppelte Nullstelle, bei $x=1_$.
Somit gilt für den Definitionsbereich [mm] $\cal{D}$:
[/mm]
[mm]\cal{D}=\mathbb{R}\setminus\lbrace[/mm]1[mm]\rbrace[/mm]
(Alle Reellen Zahlen ausser $1_$)
a2) Bestimmung der Pole
Aus dem Resultat von a1) folgt sofort, dass es bei $x=1_$ einen (einzigen)Pol 2. Ordnung gibt.
Pole von einer geraden Ordnung streben rechts- und linksseitig gegen das gleiche Unendlich, also beidseitig gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
Um zu eruieren, wohin das strebt, berechne ich einfach den Wert in der Nähe von $1_$.
Man berechne also:
[mm] $\lim_{x \to 1} \bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}$
[/mm]
Ohne zu rechnen, führt einfach folgende Ueberlegung zum Ziel:
Der Nenner ist sicher "eher positiv", weil er ja eine Quadratzahl ist.
Der Zähler ist in einer geeigneten Umgebung von $x=1_$ positiv (wenn man $1_$ einsetzt, erhält man für den Zähler den Wert $4_$).
Somit stellen wir fest:
[mm] $\lim_{x \to 1} \bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}=+\infty$
[/mm]
(Manchmal kommt man auch in der Mathematik zu einem korrekten Ergebnis, ohne zu rechnen.) 
Mit andern Worten: für $x [mm] \to [/mm] 1$ strebt $f(x)_$ gegen [mm] $+\infty$.
[/mm]
Wollte man das wirklich rechnen, würde man wohl am Besten das $x_$ durch [mm] $1+\varepsilon$ [/mm] ersetzen und [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegen Null streben lassen. Also so:
[mm] $\lim_{x \to 1} \bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}=$
[/mm]
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0} \bruch{4(2(1+\varepsilon)-1)}{(1+\varepsilon-1)^2}=$
[/mm]
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0} \bruch{4(2+2\varepsilon-1)}{\varepsilon^2}=$
[/mm]
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0} \bruch{4(1+2\varepsilon)}{\varepsilon^2}=$
[/mm]
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0} \bruch{4+8\varepsilon}{\varepsilon^2}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{\lim_{\varepsilon \to 0}(4+8\varepsilon)}{\lim_{\varepsilon \to 0}\varepsilon^2}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{4}{\lim_{\varepsilon \to 0}\varepsilon^2}=$
[/mm]
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0}\bruch{4}{\varepsilon^2}=+\infty$ [/mm]
a3) Bestimmung der Nullstellen
Dazu ist einfach die Gleichung $f(x)=0_$ nach $x_$ aufzulösen:
[mm] $\bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}=0$
[/mm]
$2x-1=0_$
[mm] $x=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Die Funktion hat also bei [mm] $x=\bruch{1}{2}$ [/mm] ihre einzige Nullstelle.
a4) Bestimmung der stationären Punkte, also der lokalen Extrema
Notwendig ist, dass die erste Ableitung Null ist. Die Untersuchung der 2. Ableitung liefert vielleicht schon die nötigen Zusatzbedingungen.
Zunächst also:
$f'(x)=0_$
[mm] $\bruch{-8x}{(x-1)^3}=0$
[/mm]
Multipliziert mit [mm] $(x-1)^3$ [/mm] ind dividiert durch $-8_$ liefert sofort:
$x=0_$
Der einzige Kandidat für eine Extremstelle ist also bei $x=0_$.
Um das Weiter zu untersuchen, brauchen wir die 2. Ableitung:
[mm] $f''(0)=\bruch{8(2*0+1)}{(0-1)^4}=\bruch{8}{1}=8$
[/mm]
Das ist ersichtlich > 0, womit wir ein Minimum gefunden haben.
Die Funktion $f(x)_$ besitzt an der Stelle $x=0_$ ein Minimum. Der Wert des Minimums errechnet sich zu:
[mm] $f(0)=\bruch{4(2*0-1)}{(0-1)^2}=\bruch{-4}{1}=-4$ [/mm]
a5) Bestimmung der Wendestellen
Hier muss die 2. Ableitung den Wert Null haben, die dritte Ableitung sollte ungleich Null sein. Genauer eigentlich: die erste n-te Ableitung, die an dieser Stelle ungleich Null ist, sollte eine ungerade Ableitung sein.
2. Ableitung = Null:
[mm] $\bruch{8(2x+1)}{(x-1)^4}=0$
[/mm]
$2x+1=0_$
[mm] $x=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Ueberprüfung des Wertes der 3. Ableitung an dieser Stelle:
[mm] $f'''(-\bruch{1}{2}=-48*\bruch{1/2}{(-3/2)^5}$
[/mm]
Das ist ersichtlich [mm] $\not [/mm] = 0$, weil der Zähler [mm] $\not [/mm] = 0$ ist. Somit handelt es sich bei [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] tatsächlich um eine Wendestelle.
a6) Bestimmung der Asymptotengleichung, falls vorhanden
Dazu berechnen wir einfach den Limes für x gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und für x gegen [mm] $-\infty$:
[/mm]
Dazu klammert man am Besten im Zähler und Nenner ein $x_$ aus der Klammer (vorsicht: die Klammer im Nenner ist hoch 2, somit ist dann das ausgeklammerte $x_$ auch hoch 2) weil:
[mm] $(x-1)^2=(x-1)(x-1)=x(1-\bruch{1}{x})*x (1-\bruch{1}{x})=x^2*(1-\bruch{1}{x}) [/mm] ^2$
Also:
[mm] $\bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}= \bruch{4x(2-\bruch{1}{x})}{x^2(1-\bruch{1}{x})^2}=\bruch{4(2-\bruch{1}{x})}{x(1-\bruch{1}{x})^2}$
[/mm]
In den Klammern kannst man jetzt den Grenzübergang für $x [mm] \to \infty$ [/mm] machen und erhält:
[mm] $\lim_{x \to \infty}\bruch{4(2-\bruch{1}{x})}{x(1-\bruch{1}{x})^2}=\lim_{x \to \infty}\bruch{4*2}{x*1}=\lim_{x \to \infty}\bruch{8}{x}$
[/mm]
Das strebt ersichtlich gegen Null, und zwar für $x [mm] \to -\infty$ [/mm] von der negativen Seite her, für $x [mm] \to +\infty$ [/mm] von der positiven Seite her.
Die Asymptotengleichung $g(x)_$ lautet demnach:
$g(x)=0_$
a7) Als Zugabe eventuell Bestimmung des Wertebereichs
Das ersparen wir uns mal und behaupten kühn: Teilaufgabe a) ist gelöst!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Do 16.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Wenn man den Grafen von Hand zeichnet, macht man am Besten eine Wertetabelle. Dabei berücksichtigt man am Besten auch jene Werte, die etwas Spezielles bedeuten. Also Extrema, Wendestellen, Nullstellen.
Bei diesen Werten berechnet man mit Vorteil auch die Steigung, um beim Zeichen eine Ahnung zu haben, in welche Richtung der Stift zu führen ist. Ich mache das jeweils mit einem kleinen Strichlein an dieser Stelle, welches eben die richtige Steigung hat.
Bei der Wendestelle ist darauf zu achten, dass man links davon eine Rechtskurve macht, rechts davon eine Linkskurve (manchmal auch umgekehrt).
Ich kann meine Handzeichnung leider nicht einscannen, weshalb ich einfach einen Plot aus dem Programm unseres genialen Marc hier hineinstelle. Wenn in der Aufgabe der x-Bereich vorgegeben ist, innerhalb dessen man den Grafen zeichnen soll, dann mache man das eben. Mein Plot kann das nicht (?)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 16.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Das ist sehr einfach.
Wir wissen ja, dass der Wendepunkt bei [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] liegt.
Weil die erste Ableitung ja die Formel für die Steigung des Grafen ist, setzen wir einfach ein:
[mm] $f'(-\bruch{1}{2})=-8*\bruch{-\bruch{1}{2}}{(-\bruch{1}{2}-1)^3}=\bruch{4}{(-\bruch{3}{2})^3}=\bruch{4}{-\bruch{27}{8}}=-\bruch{32}{27}$
[/mm]
Schon fertig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Do 16.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Für Teilaufgabe d) müssen wir also den Punkt suchen, wo die Steigung den Wert [mm] $-\bruch{32}{27}$ [/mm] hat.
Die Gleichung [mm] $f'(x)=-\bruch{32}{27}$ [/mm] ist also nach $x_$ aufzulösen.
[mm] $-\bruch{8x}{(x-3)^3}=-\bruch{32}{27}$ [/mm]
dividiert durch $-8:$:
[mm] $\bruch{x}{(x-1)^3}=\bruch{4}{27}$
[/mm]
Wenn man genau hinschaut, erkennt man hier sofort, dass $x=4$ eine Lösung ist.
Gibt es noch andere Lösungen? Ja, aber die kennen wir schon: bei [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] gibt es noch eine Doppellösung, weil dort ja ein Wendpunkt ist!
Der gesuchte Punkt P hat also die Koordinaten [mm] $(4/\bruch{28}{9})$
[/mm]
Darauf kommt man selbstverständlich, wenn man $f(4)_$ berechnet:
[mm] $f(4)=\bruch{4(2*4-1)}{(4-1)^2}=\bruch{4*7}{9}=\bruch{28}{9}$
[/mm]
Anmerkung: hätte man den Wert 4 nicht sofort entdeckt, dann hätte man halt die Gleichung weiter auflösen müssen:
[mm] $\bruch{x}{(x-1)^3}=\bruch{4}{27}$
[/mm]
[mm] $27x=4(x-1)^3$
[/mm]
[mm] $27x=4(x^3-3x^2+3x-1)$
[/mm]
[mm] $27x=4x^3-12x^2+12x-4$
[/mm]
[mm] $4x^3-12x^2-15x-4=0$
[/mm]
[mm] $x^3-3x^2-\bruch{15}{4}x-1=0$
[/mm]
Eine Gleichung dritten Grades!
Das ist aber hier nicht schlimm, weil wir ja wissen, dass bei [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] eine Doppellösung sein muss!
Der Ausdruck linkerhand lässt sich also in Faktoren aufteilen:
[mm] $(x+\bruch{1}{2})^2(x-\alpha)=0$
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich (man muss nur das konstante Glied $-1_$ betrachten) liefert sofort:
[mm] $-\bruch{1}{4}\alpha=-1$
[/mm]
Also [mm] $\alpha [/mm] = 4$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Wie berechnet man die Tangent an eine Kurve, von der wir die Steigung kennen?
Ja, da gilt doch die Geradengleichung:
[mm] $y-y_0=m(x-x_0)$
[/mm]
Wobei $m_$ die die Steigung der Geraden ist, und [mm] $(x_0/y_0)$ [/mm] der Punkt, durch den die Gerade geht.
Für unsere Aufgabe ist also zu setzen:
[mm] $m=f'(x_0)$
[/mm]
[mm] $y_0=f(x_0)$
[/mm]
Die Tangentengleichung ist also:
[mm] $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$
[/mm]
Was bringt das jetzt, wir kennen ja [mm] $x_0$ [/mm] gar nicht!
Aber wir wissen, dass $Q(1/0)_$ die Geradengleichung erfüllen muss!
Ich kann also in der Geradengleichung $y=0_$ und $x=1_$ einsetzen, und dann nach [mm] $x_0$ [/mm] auflösen:
[mm] $-\bruch{4(2x_0-1)}{(x_0-1)^2}=-8\bruch{x_0}{(x_0-1)^3}*(1-x_0)$
[/mm]
Rechterhand lässt sich das Minuszeichen bei der $8_$ in die Klammer multiplizieren:
[mm] $-\bruch{4(2x_0-1)}{(x_0-1)^2}=8\bruch{x_0}{(x_0-1)^3}*(x_0-1)$
[/mm]
[mm] $-4(2x_0-1)=8x_0$
[/mm]
[mm] $2x_0-1=-2x_0$
[/mm]
[mm] $4x_0-1=0$
[/mm]
[mm] $4x_0=1$
[/mm]
[mm] $x_0=\bruch{1}{4}$
[/mm]
Jetzt, da man [mm] $x_0$ [/mm] kennt, kann man das getrost in der Geradengleichung einsetzen:
[mm] $y-\bruch{4(\bruch{1}{2}-1)}{(\bruch{1}{4}-1)^2}=-8\bruch{\bruch{1}{4}}{(\bruch{1}{4}-1)^3}(x-\bruch{1}{4})$
[/mm]
[mm] $y+\bruch{2*16}{9}=\bruch{+2*64}{27}(x-\bruch{1}{4})$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{128}{27}x-\bruch{32}{27}-\bruch{96}{27}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{128}{27}x-\bruch{128}{27}$
[/mm]
Das ist die gesuchte Tangentengleichung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hier muss man also einfach die Funktion an einer Stelle $x_$ berechnen, und an einer Stelle $x+1_$. Der Funktionswert muss dann übereinstimmen.
Es muss also gelten:
$f(x)=f(x+1)_$
Nicht reden, machen!
[mm] $\bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}=\bruch{4(2(x+1)-1)}{((x+1)-1)^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{4(2x-1)}{(x-1)^2}=\bruch{4(2x+1)}{x^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{2x-1}{(x-1)^2}=\bruch{2x+1}{x^2}$
[/mm]
[mm] $(2x-1)x^2=(2x+1)(x-1)^2$
[/mm]
[mm] $2x^3-x^2=(2x+1)(x^2-2x+1)$
[/mm]
[mm] $2x^3-x^2=2x^3-4x^2+2x+x^2-2x+1$
[/mm]
[mm] $-x^2=-3x^2+1$
[/mm]
[mm] $2x^2=1$
[/mm]
[mm] $x^2=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $x=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
Die Bedingung ist also erfüllt einerseits bei den x-Werten
[mm] $-\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $1-\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
und andererseits bei den x-Werten
[mm] $\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $1+\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
So, damit ist die ganze Aufgabe gelöst.
mögen jetzt möglichst viele Schüler eine Bombennote heimbringen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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