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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 16.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hallo,
könnte mir jemand ein bisschen die algebraische und geometrische Multiplizität näher bringen?
Habe jetzt schon ein wenig gelesen, mir ist aber noch nicht ganz bewusst, wie genau ich diese berechne und was genau sie darstellen, bzw was der Unterschied ist, würde mich über ausführliche Erläuterungen freuen 
Dann wäre es noch klasse wenn mir jemand kurz die Schritte sagt (bitte simple ausgedrückt^^), wie ich die jeweilige Multiplizität berechne, sodass ich mich anhand einer Matrix mal versuchen kann. (Mir ist schon bewusst, dass ich sie anhand der Eigenwerte ermittel^^)
Vielen Dank und viele Grüße, Paula
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Hallo Paula,
> Hallo,
> könnte mir jemand ein bisschen die algebraische und
> geometrische Multiplizität näher bringen?
> Habe jetzt schon ein wenig gelesen, mir ist aber noch
> nicht ganz bewusst, wie genau ich diese berechne und was
> genau sie darstellen, bzw was der Unterschied ist, würde
> mich über ausführliche Erläuterungen freuen
>
> Dann wäre es noch klasse wenn mir jemand kurz die Schritte
> sagt (bitte simple ausgedrückt^^), wie ich die jeweilige
> Multiplizität berechne, sodass ich mich anhand einer
> Matrix mal versuchen kann. (Mir ist schon bewusst, dass ich
> sie anhand der Eigenwerte ermittel^^)
Nun, das sind Begriffe aus der Eigenwerttheorie:
Wenn du das charakterist. Polynom berechnest, so bezeichnet die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes die Vielfachheit, mit der der Eigenwert als Nullstelle im char. Polynom auftritt.
In deiner Aufgabe im anderen thread von vor ein paar Minuten hast du das char. Polynom berechnet zu [mm](x-3)^3[/mm] bzw. [mm]x^3-9x^2+27x-27[/mm]
Der einzige Eigenwert ist [mm]x_0=3[/mm]. Er tritt als 3-fache Nullstelle im char. Polynom auf ([mm](x-3)^{\red{3}}[/mm])
Seine algebraische Vielfachheit ist also [mm]\red{3}[/mm]
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des zugeh. Eigenraumes.
Den hattest du in der Aufgabe berechnet zu [mm]\left\langle\vektor{0\\
0\\
1}\right\rangle}[/mm], er ist also 1-dimensional.
Dh. die geometr. VFH des Eigenwertes [mm]x_0=3[/mm] ist 1
Es gilt stets: geometr. VFH [mm]\ \le \ [/mm] algebraische VFH
Darüber hinaus kann eine Matrix nicht diagonalisierbar sein, wenn algebr. und geom. VFH für einen EW nicht übereinstimmen.
Schaue dir mal die Diagonalisierungskriterien an ...
> Vielen Dank und viele Grüße, Paula
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Zu berechnen ist die geometrische und algebraische Multiplizität von A.
[mm] A=\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] |
Vielen Dank für die tolle Erklärung.
Ich versuche das jetzt nochmal anhand einer anderen Matrix (siehe Aufgabe) selbst zu ermitteln.
das charakteristische Polynom ist ja wieder [mm] (x-3)^{3}, [/mm] somit gibt es einen dreifachen Eigenwert und die algebraische Multiplizität ist somit 3.
Nun berechne ich den dazugehörigen Eigenvektor:
[mm] (3\cdot E_{n}-A)=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Da anhad eines Gleichungssystems nur [mm] x_{3}=0 [/mm] herauskommt, kann man [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] beliebig wählen, z.b.: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] (Wäre das ein korrekter Eigenvektor?)
Wie auch immer ist die Dimension des Eigenraumes und somit die geometrische Multiplizität=2, oder??
Viele Grüße Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Fr 17.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zu berechnen ist die geometrische und algebraische
> Multiplizität von A.
> [mm]A=\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> Vielen
> Dank für die tolle Erklärung.
> Ich versuche das jetzt nochmal anhand einer anderen Matrix
> (siehe Aufgabe) selbst zu ermitteln.
>
> das charakteristische Polynom ist ja wieder [mm](x-3)^{3},[/mm]
> somit gibt es einen dreifachen Eigenwert und die
> algebraische Multiplizität ist somit 3.
Ja
>
> Nun berechne ich den dazugehörigen Eigenvektor:
............ "den" ?... Die Menge der Eigenvektoren ist eine unendliche Menge.
> [mm](3\cdot E_{n}-A)=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Da anhad eines Gleichungssystems nur [mm]x_{3}=0[/mm] herauskommt,
> kann man [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] beliebig wählen, z.b.: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> (Wäre das ein korrekter Eigenvektor?)
Ja
> Wie auch immer ist die Dimension des Eigenraumes und somit
> die geometrische Multiplizität=2, oder??
Ja
FRED
>
> Viele Grüße Paula
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