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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das multiplikative Inverse von 2x + 1 im endlichen Körper [mm]\IZ_5[x]_q[/mm] mit q(x) = [mm]x^2[/mm] + 2. |
Hallo,
ich weiß, dass 2x + 4 das multiplikative Inverse von 2x + 1 ist, aber ich weiß nicht, wie man darauf kommt. Ich bitte um Hilfe.
Vielen Dank!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 11.07.2013 | | Autor: | hippias |
Es handelt sich hier um eine Faktorstruktur, sodass man man zwischen Elementen aus [mm] $\IZ[x]$ [/mm] und [mm] $\IZ[x]_{q}$ [/mm] unterscheiden muss (bzw. muesste, denn oftmals wird es nicht gemacht). Hier bezeichne der Deutlichkeit halber $[f]$ die Restklasse des Elements [mm] $f\in \IZ[x]$. [/mm]
Gesucht ist also ein [mm] $Y\in \IZ[x]_{q}$ [/mm] so, dass $[2x+1]Y= [1]$ ist. Ist nun [mm] $y\in [/mm] Y$, also $Y= [y]$, so gilt nach Definition des Produktes in der Faktorstruktur, dass $[1]= [2x+1][y]= [(2x+1)y]$. Diese beiden Restklassen sind gleich, wenn $(2x+1)y-1$ von $q$ geteilt wird. Es muss also letztendlich die Gleichung $(2x+1)y-kq= 1$ geloest werden, wobei [mm] $y,k\in \IZ[x]$. [/mm] Dies kannst Du mit dem Euklidischen Algorithmus machen.
> Bestimmen Sie das multiplikative Inverse von 2x + 1 im
> endlichen Körper [mm]\IZ_5[x]_q[/mm] mit q(x) = [mm]x^2[/mm] + 2.
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> Hallo,
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> ich weiß, dass 2x + 4 das multiplikative Inverse von 2x +
> 1 ist, aber ich weiß nicht, wie man darauf kommt. Ich
> bitte um Hilfe.
> Vielen Dank!
>
> Gruß Ptolemaios
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Hi hippias,
danke für deine schnelle Antwort.
Leider komme ich damit auf keinen grünen Zweig. Könntest Du mir bitte ein Beispiel vorgeben, um die Theorie zu verdeutlichen?
Danke für deine Mühe!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für deine schnelle Antwort.
> Leider komme ich damit auf keinen grünen Zweig. Könntest
> Du mir bitte ein Beispiel vorgeben, um die Theorie zu
> verdeutlichen?
> Danke für deine Mühe!
Mal ein Beispiel in [mm] $\IZ/15\IZ$ [/mm] - in Quotienten von Polynomringen ueber Koerpern geht das genauso.
Sagen wir, du willst das Inverse von 7 dort bestimmen. Dazu bestimmst du $ggT(7, 15)$ mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus:
$15 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 + 1$
$7 = 7 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0$
Damit ist $ggT(7, 15) = 1 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 15$.
Wenn du das ganze modulo 15 anschaust, steht da $1 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7$ (in [mm] $\IZ/15\IZ$), [/mm] womit 2 das Inverse von 7 modulo 15 ist.
Du rechnest jetzt im Quotienten vom Polynomring [mm] $\IZ_5[x]$ [/mm] modulo dem Polynom [mm] $x^2 [/mm] + 2$, musst also $ggT(2 x + 1, [mm] x^2 [/mm] + 2)$ in [mm] $\IZ_5[x]$ [/mm] bestimmen und als Linearkombination von $2 x + 1$ und [mm] $x^2 [/mm] + 2$ schreiben.
LG Felix
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Hi Felix,
danke mal wieder für deine Hilfe und sorry für meine späte Antwort!
Also als ggT([mm]x^2 + 2[/mm], 2x + 1) habe ich 2,25.
Habe dabei diese Gleichung aufgestellt: 2,25 = ([mm]x^2 + 2[/mm]) + (-0,5x - 0,25) * (2x + 1).
Irgendwo ist da aber wohl der Wurm drin, denn es kommt nichts sinnvoles als Inverses heraus.
Kannst du mir bitte weiterhelfen? Danke!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Also als ggT([mm]x^2 + 2[/mm], 2x + 1) habe ich 2,25.
Das ist doch Unsinn.
Du musst beachten, dass wir es hier mit [mm] \IZ_5 [/mm] zu tun haben, nicht mit [mm] \IR.
[/mm]
Wenn 2,25 bedeuten soll, dass [mm] 2+4^{-1} [/mm] gemeint ist, dann berücksichtige zunächst, dass in [mm] \IZ_5 [/mm] die Kongruenz [mm] 4^{-1}\equiv4 [/mm] gilt, weil [mm] 4*4\equiv16\equiv1 [/mm] (5) ist und somit wird der ggT zu [mm] 2+4\equiv6\equiv1 [/mm] (5).
> Habe dabei diese Gleichung aufgestellt: 2,25 = ([mm]x^2 + 2[/mm]) +
> (-0,5x - 0,25) * (2x + 1).
Mit dem Term (-0,5x - 0,25) musst du analog verfahren.
Ganz alternativ kannst du für das gesuchte Inverse natürlich auch den Ansatz ax+b machen, denn da modulo [mm] x^2+2 [/mm] gerechnet wird, kommen Polynome höchstens vom Grad 1 vor. Aus [mm] (ax+b)*(2x+1)\equiv1 [/mm] kannst du dann a und b bestimmen.
Gruß Sax.
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Hi sax,
danke für deine Antwort. Dennoch sehe ich dabei nach wie vor nicht, wie ich nun auf 2x + 4, welches das multiplikative Inverse von 2x + 1 ist, komme. Ich habe den Algorithmus ausgeführt, aber egal wie ich es drehe, ich komme nicht auf 2x + 4.
Bitte hilf mir!
Danke!
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich sehe gerade, dass bei deiner an sich kruden Rechnung
> Habe dabei diese Gleichung aufgestellt: 2,25 = ($ [mm] x^2 [/mm] + 2 $)
> + (-0,5x - 0,25) * (2x + 1)
noch ein Vorzeichenfehler drin ist: Statt -0,25 sollte es +0,25 heißen.
Hilft das ?
Gruß Sax.
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Hi,
also ich habe nun diese Gleichung 1 = ([mm]x^2[/mm]+ 2) + (-0,5x + 0,25) * (2x + 1). Wie kommt man statt -0,25 nun auf +0,25? In meiner Berechnung ds ggT habe ich -0,25 rausbekommen...
Auf 2x + 4, welches das gesuchte Inverse ist, komme ich nicht, denn -0,5 mod 5 = 4,5 und 0,25 mod 5 = 0,25.
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Sa 13.07.2013 | | Autor: | hippias |
Den Gebrauch von Dezimalzahlen bei Restklasenringen solltest Du Dir wieder abgewoehnen. Statt $0.25$ bilde das Inverse der Restklasse $[4]$ bzw. statt $-0.5$ das Inverse von $[-2]$ im Ring [mm] $\IZ_{5}$. [/mm] Dann erhaelst Du das richtige Ergebnis.
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