Multiplikation von Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wir haben folgende Aufgabe bekommen von unserem ehrwürdigen Mathelehrer:
Beweisen Sie: [mm] (A*B)^{T} [/mm] = $ [mm] B^{T}\cdot{}A^{T}, [/mm] $, falls [mm] A\cdot{}B [/mm] und [mm] B^{T}*A^{T} [/mm] gebildet werden können.
Meine Überlegung bisher:
Da für inverse Matrizen folgende Beziehung gilt: [mm] A\cdot{}B [/mm] = [mm] B\cdot{}A [/mm] = E, falls B die inverse zu A ist und E die entsprechende Einheitsmatrix. Allerdings könnte B auch ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein:
[mm] A\cdot{}B [/mm] = [mm] A\cdot{}f\cdot{}E [/mm] = [mm] f\cdot{}A\cdot{}E [/mm] = [mm] f\cdot{}E\cdot{}A= B\cdot{}A
[/mm]
Folgende Matrizenmultiplikation scheint jedoch ebenfalls richtig zu sein:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \cdot{} \pmat{ 2 & 5 \\ 0 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 5 \\ 0 & 2} \cdot{} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Diese Matrizen erfüllen auch die Ausgangsgleichung sowie die Beziehung [mm] A\cdot{}B [/mm] = [mm] B\cdot{}A [/mm] , auch wenn B in keinster Weise die Inverse zu A ist, geschweige ein Vielfaches der Einheitsmatrix.
Wie könnte man an diese Aufgabe herangehen? Gilt es hier nicht alle zueinander komutativen n-n-Matrizen zu finden? Im Unterricht haben wir Seit ca. 4 Wochen das Thema Matrizen angefangen und ich verfüge daher nur über ein beschränktes Wissen, welches nicht über viel mehr hinausgeht, als obiges. Wenn ich z.B. die Regel von Sarrus anwenden würde, gäbe es keine Punkte beim ABI, da nur die Dinge herleitungsfrei verwendet werden dürfen, die entweder in unserem "goldwerten" Tafelwerk stehen, in dem nichts steht, oder im Unterricht behandeltes. Wie gesagt fehlt mir der Ansatz, um das Problem in den Griff zu kriegen, so dass man es unter gegebenen Umständen verstehen kann 
Kann es eventuell auch sein, das es sich bei der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] um eine Spezielle Matrix handelt? Hab' im Internet irgendetwas von Spiegelmatrizen oder sowas gehört, irgendwelche Drehmatrizen... keine Ahnung. Unser aktueller Standpunkt auf deutsch: Wir können gerade noch so Gleichungssysteme lösen, welche 4 Unbekannte enthalten, sprich sowas wie
4-4-Matrix mal [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} } [/mm] gleich irgendtwas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Do 03.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Markes!
> Wir haben folgende Aufgabe bekommen von unserem ehrwürdigen
> Mathelehrer:
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> Beweisen Sie: [mm](A*B)^{T}[/mm] = [mm]B^{T}\cdot{}A^{T}, [/mm], falls
> [mm]A\cdot{}B[/mm] und [mm]B^{T}*A^{T}[/mm] gebildet werden können.
Ich nehme an, ihr beschäftigt euch nur mit Matrizen, deren Einträge aus [mm] $\IR$ [/mm] sind. Die Gleichheit von [mm] $(A*B)^T$ [/mm] und [mm] $B^T*A^T$ [/mm] zeigt man, indem man zeigt, dass an jeder Stelle die Einträge der Matrizen übereinstimmen.
Seien nun $r,s,t [mm] \in \IN$ [/mm] und sei $A$ eine $r [mm] \times [/mm] s$- sowie $B$ eine [m]s \times t[/m]-Matrix, deren Einträge aus [mm] $\IR$ [/mm] seien.
1.) Das Produkt $A*B$ ist dann definiert, und das Produkt $A*B$ ist eine [m]r \times t[/m]-Matrix mit Einträgen aus [mm] $\IR$, [/mm] also ist [m](A*B)^T[/m] eine $t [mm] \times [/mm] r$-Matrix mit Einträgen aus [mm] $\IR$.
[/mm]
2.) Die Matrix [mm] $B^T$ [/mm] ist eine $t [mm] \times [/mm] s$-Matrix mit Einträgen aus [mm] $\IR$, [/mm] die Matrix [mm] $A^T$ [/mm] ist eine $s [mm] \times [/mm] r$-Matrix mit Einträgen aus [mm] $\IR$.
[/mm]
D.h., wenn das Produkt $A*B$ gebildet werden kann, dann auch das Produkt [mm] $B^T*A^T$ [/mm] (es würde also genügen, wenn dein Lehrer nur gesagt hätte: Falls das Produkt $A*B$ gebildet werden kann...) . Ferner ist das Produkt [m]B^T*A^T[/m] eine $t [mm] \times [/mm] r$-Matrix mit Einträgen aus [mm] $\IR$.
[/mm]
3.) Beweis.
Wie bereits in (1.) und (2.) gesehen, sind [mm] $(A*B)^T$ [/mm] und [mm] $B^T*A^T$ [/mm] beides $t [mm] \times [/mm] r$-Matrizen mit Einträgen aus [mm] $\IR$. [/mm] Sei nun [m][(A*B)^T]_{i,j}[/m] der Eintrag der Matrix [mm] $(A*B)^T$, [/mm] den man in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte findet ($1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] t$, $1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] r$) (im folgenden bezeichne ich mit [mm] $[X]_{k,l}$ [/mm] immer den Eintrag, welchen man in der Matrix $X$ in der $k$-ten Zeile und $l$-ten Spalte findet).
Dann gilt:
(I) [m][(A*B)^T]_{i,j}=[A*B]_{j,i}=\summe_{c=1}^s \left([A]_{j,c}*[B]_{c,i}\right)[/m].
Nun berechnen wir den Eintrag, welcher sich in der $i$-ten Zeile und [m]j[/m]-ten Spalte von [mm] $B^T*A^T$ [/mm] findet.
Es gilt:
(II) [m][B^T*A^T]_{i,j}=\summe_{c=1}^s \left([B^T]_{i,c}*[A^T]_{c,j}\right)
=\summe_{c=1}^s \left([B]_{c,i}*[A]_{j,c}\right)
=\summe_{c=1}^s \left([A]_{j,c}*[B]_{c,i}\right)[/m]
Damit erhalten wir insgesamt:
Sowohl [mm] $(A*B)^T$ [/mm] als auch [mm] $B^T*A^T$ [/mm] sind $t [mm] \times [/mm] r$-Matrizen mit Einträgen aus [mm] $\IR$, [/mm] die wegen (I) und (II) an allen Stellen übereinstimmen
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $(A*B)^T=B^T*A^T$, [/mm] falls das Produkt $A*B$ definiert ist.
PS: 1.)Sorry, aber um mich jetzt noch um deine Überlegungen zu kümmern, ist es mir zu spät. Ich wüßte auch nicht, wie dich das hätte weiterbringen sollen...
2.) Die Formel (für den Eintrag), wie man Matrizen miteinander multipliziert, findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier ([m]\blue{\leftarrow}[/m] click it!).
Viele Grüße,
Marcel
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