Multipl. Gruppe eines endl. Kö < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen, aber es klappt nicht so ganz...
Es geht um den Satz, dass die multiplikative Gruppe F* eines endlichen Körpers F stets zyklisch ist.
Nun habe ich folgenden Beweis:
Es ist [mm] |F|=q=p^n. [/mm] Nach dem kleinen Satz von Fermat ist [mm] a^{q-1}=1 [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] F*. zu zeigen ist, dass ein a existiert mit ord(a)=q-1.
Sei b:=min{m [mm] \in \IN |a^{m}=1 \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] F*}. Dann gilt für alle a [mm] \in [/mm] F*: [mm] a^{b}=1.
[/mm]
Also sind alle a [mm] \in [/mm] F* Nullstellen des Polnoms [mm] x^{b}-1. [/mm] Demnach hat dieses Polynom mindestens q-1 Nullstellen und es folgt b [mm] \ge [/mm] q-1. Aber b muss die Gruppenordnung teilen,, also b|q-1 ind b [mm] \ge [/mm] q-1, also b=q-1.
Ich verstehe den Beweis auch, allerdings frage ich mich, ob man damit jetzt die Behauptung bewiesen hat...denn muss denn b auch die ordnung eines elements sein? ist es nich nur das kgV aller Ordnungen? :(
Sorry, wenn die Frage doof ist... und danke fürs Helfen 
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Ich glaube, es geht noch einfacher:
Betrachte [mm] a\ne [/mm] 0 [mm] \in [/mm] F, wobei |F|=n sei. Bilde hierzu der Reihe nach
a, [mm] a^2, a^3, [/mm] ..., [mm] a^n, a^{n+1}. [/mm] Das sind mehr Elemente, als F enthält. Also muss mindestens eines dieser Elemente doppelt vorkommen, somit [mm] a^i=a^j [/mm] für ein Paar i [mm] \ne [/mm] j. Sei i<0. Da a [mm] \ne [/mm] 0 ein Inverses [mm] a^{I} [/mm] hat, multiplizieren wir die Gleichung mit [mm] (a^{I})^i [/mm] und erhalten [mm] (a^{I})^i*a^i= (a^{I})^i*a^j [/mm]
bzw. 1 = [mm] a^{j-i} [/mm] was bedeutet, dass nach dem Index j-i<n wieder [mm] a^{j-i+1}=a, a^{j-i+2}= a^2 [/mm] ... kommt und somit ein Zyklus entsteht.
Ist nun z.B. |F|=7, so gibt es evtl. ein a mit Zyklus 6, also a, [mm] a^2, a^3, a^4, a^5, a^6 [/mm] =1. Dann hat aber [mm] (a^2), (a^2)^2, (a^2)^3=a^6 [/mm] = 1 den Zyklus 3, also nicht den selben wie a.
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Hallo,
vielen Dank, den Beweis verstehe ich sogar Das ist schon mal gut.
Aber nochmal zu meinem Beweis: Muss man vielleicht vorher folgenden Satz zeigen:
Sei G eine abelsche Gruppe. Für g,h [mm] \in [/mm] G gelte ord(g)=:m, ord(h)=:n. Dann gibt es in G ein Element der Ordnung kgV(m,n)
? Und dann kann man den Beweis ja nehmen, oder? Denn dann weiß man, dass es ein Element der Ordnung q-1 gibt, weil gezeigt wurde, dass q-1 das kgV ist?
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 18.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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