Multinomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 18.11.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega=\{a_{1}, ..., a_{k}\} [/mm] und [mm] \IP( \a_{i})=p_{i}\in[0,1]
[/mm]
[mm] S:\Omega^{n}\to\IN^{k}
[/mm]
[mm] S(\omega_{1},...,\omega_{n})=(S^{1}(\omega),...,S^{k}(\omega))
[/mm]
wobei [mm] S^{j}(\omega):=# a_{j} [/mm] in [mm] \omega
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] S^{1} [/mm] binomialverteilt ist zu n und [mm] p_{1}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass S multinomialverteilt ist zu n und [mm] p_{1},..., p_{k}, [/mm] d. h.:
für alle [mm] (n_{1},..., n_{k})\in\IN^{k} [/mm] mit [mm] \sum_{i=1}^{k}n_{i}=n [/mm] gilt:
[mm] \IP^{n}(S=(n_{1},..., n_{k}))=\vektor{n\\n_{1},..., n_{k}}*\produkt_{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}
[/mm]
wobei [mm] \vektor{n\\n_{1},..., n_{k}}:=\bruch{n!}{\produkt_{i=1}^{k}n_{i}!}
[/mm]
c) Berechnen Sie den Erwartungswert einer multinomialverteilten Zufallsgröße. |
Huhu!
Also a) ist ja noch hinzukrigen, doch bei b) und c) bin ich nur am Verzweifeln.
Klappt das vielleicht mit Induktion nach k? Oder doch nach n?
Das ist alles so kompliziert, dass ich da kaum durchblicke...
[mm] \produkt_{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}} [/mm] bestimmt ja erstmal die Wahrscheinlichkeit eines passenden Elementarereignisses... Das ist mir klar.
Aber wieso gibt es davon gerade [mm] \vektor{n\\n_{1},..., n_{k}} [/mm] Stück?
Zu c): Ich hab gelesen, dass wohl gilt: [mm] E(S^{j})=n*p_{j}
[/mm]
Also müsste [mm] E(S)=(n*p_{1},...,n*p_{k}) [/mm] sein....
Die Frage ist nur warum...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Do 18.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Loesungsvorschlag: [mm] $(S=(n_{1},..., n_{k}))$ [/mm] tritt ein, wenn [mm] $n_1$ [/mm] mal [mm] $a_1$, [/mm] ... , [mm] $n_k$ [/mm] mal [mm] $a_k$ [/mm] auftritt in [mm] $\omega$. [/mm] Es ist
[mm] $P(S=(n_{1},..., n_{k}))=P(S^1=n_1)P(S^2=n_2\mid S^1=n_1)P(S^3=n_3\mid S^1=n_1,S^2=n_2)\cdots P(S^k=n_k\mid S^1=n_1,\dots,S^{k-1}=n_{k-1})$
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
