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| Aufgabe | 1.) Sei K ein Körper mit 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 und A [mm] \in K^{n,n} [/mm] mit [mm] A^{T} [/mm] = −A. Ist n ungerade, so gilt det(A) = 0.
2.) Sei A [mm] \in R^{n,n} [/mm] mit [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1}. [/mm] Dann gilt det(A) [mm] \in [/mm] {1, −1}. |
Hallo liebes Forum =),
1.) det(A) = det ( [mm] A^{T} [/mm] ) = det (-A) = [mm] (-1)^{n} [/mm] det (A) = 0
So sieht der Beweis aus, aber meine Fragen hierzu:
Ich weiß, dass das Folgende : det (-A) = [mm] (-1)^{n} [/mm] det (A) , wegen der Multilinearität gilt, aber wie sieht der genaue Beweis aus? Überall finde ich nur: "Dies folgt unmittelbar aus der Multilinearität." Aber was ist genau die Multilinearität, das hatten wir noch gar nicht? Und wieso ist das ganze gleich 0, das sehe ich auch nicht? Apropos funktioniert das Ganze nur bei ungeraden n, weil [mm] (-1)^{n} [/mm] det (A) sonst gar nicht funktionieren würde? Habe das nämlich mit einer Matrix für gerade n getestet und da hat es nicht funktioniert, aber für ungerade schon.
2. ) A ist eine orthogonale Matrix: [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1} \gdw A^{T} [/mm] * A = [mm] I_{n}
[/mm]
1 = det ( [mm] I_{n} [/mm] ) = det ( A * [mm] A^{T} [/mm] ) = det (A) * det ( [mm] A^{T} [/mm] ) = (det [mm] (A))^{2}
[/mm]
Stimmt das so? Oder fehlt da noch was?
Liebe Grüße
Milchschelle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 14.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
zur Multilinearität. Ist [mm]A=(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n)\in\IR^{n\times{n}}[/mm] mit Spaltenvektoren [mm]a_i\in\IR^n,\,i=1,\ldots,n[/mm], dann ist
[mm]\textrm{det}(A)=\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n)\in\IR^{n\times{n}}[/mm]. Multilineare heißt, dass die Determinante in jeder Spalte linear ist, d.h.
[mm]\textrm{det}(A)=\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j+b,\ldots,a_n)=\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n)+\textrm{det}(a_1,\ldots,b,\ldots,a_n)[/mm] für alle [mm] $a_1,\ldots,a_n,b\in\IR^{n}$
[/mm]
und
[mm]\textrm{det}(A)=\textrm{det}(a_1,\ldots,(-x)*a_j,\ldots,a_n)=(-x)*\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n)[/mm] für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Dann ist
[mm]\textrm{det}(-A)=\textrm{det}((-1)*a_1,\ldots,(-1)*a_j,\ldots,(-1)*a_n)=(-1)*\ldots*(-1)*\ldots*(-1)*\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n)=(-1)^n*\textrm{det}(a_1,\ldots,a_j,\ldots,a_n).[/mm]
Zu 2.
Stimmt so.
Beste Grüße
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo noch mal!
Da habe ich mal wieder die Hälfte vergessen:
> 1.) Sei K ein Körper mit 1+1 [mm]\not=[/mm] 0 und A [mm]\in K^{n,n}[/mm]
> mit [mm]A^{T}[/mm] = −A. Ist n ungerade, so gilt det(A) = 0.
> 2.) Sei A [mm]\in R^{n,n}[/mm] mit [mm]A^{T}[/mm] = [mm]A^{-1}.[/mm] Dann gilt det(A)
> [mm]\in[/mm] {1, −1}.
> Hallo liebes Forum =),
>
> 1.) det(A) = det ( [mm]A^{T}[/mm] ) = det (-A) = [mm](-1)^{n}[/mm] det (A) = 0
>
> So sieht der Beweis aus, aber meine Fragen hierzu:
> Ich weiß, dass das Folgende : det (-A) = [mm](-1)^{n}[/mm] det (A)
> , wegen der Multilinearität gilt, aber wie sieht der
> genaue Beweis aus? Überall finde ich nur: "Dies folgt
> unmittelbar aus der Multilinearität." Aber was ist genau
> die Multilinearität, das hatten wir noch gar nicht?
Okay, das habe ich in meiner 1. Antwort beschrieben.
> Und wieso ist das ganze gleich 0, das sehe ich auch nicht?
Okay, sehen wir uns noch einmal die Gleichung an:
[mm]\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A^{T})=\textrm{det}(-A)=(-1)^{n}\textrm{det}(A)[/mm], d.h.
[mm]\textrm{det}(A)=(-1)^{n}\textrm{det}(A)[/mm]. Für n ungerade heißt das [mm]\textrm{det}(A)=(-1)*\textrm{det}(A)=-\textrm{det}(A)[/mm] und
diese Gleichung ist ja nur für [mm]\textrm{det}(A)=0[/mm] erfüllt.
Am Ende "=0" zu schreiben, hat dich sicher etwas irritiert!
> Apropos funktioniert das Ganze nur bei ungeraden n, weil
> [mm](-1)^{n}[/mm] det (A) sonst gar nicht funktionieren würde?
Sind alle Voraussetzungen wie oben nur n gerade, dann steht da letztendlich
[mm]\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A^{T})=\textrm{det}(-A)=(-1)^{n}\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A)[/mm].
Diese Gleichung ist für alle [mm]A\in\IR^{n\times{n}}[/mm] erfüllt.
> Habe
> das nämlich mit einer Matrix für gerade n getestet und da
> hat es nicht funktioniert, aber für ungerade schon.
>
> 2. ) A ist eine orthogonale Matrix: [mm]A^{T}[/mm] = [mm]A^{-1} \gdw A^{T}[/mm]
> * A = [mm]I_{n}[/mm]
>
> 1 = det ( [mm]I_{n}[/mm] ) = det ( A * [mm]A^{T}[/mm] ) = det (A) * det (
> [mm]A^{T}[/mm] ) = (det [mm](A))^{2}[/mm]
>
> Stimmt das so? Oder fehlt da noch was?
>
> Liebe Grüße
>
> Milchschelle
Beste Grüße
barsch
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Oh cool =) , danke für deine Hilfe
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