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Hallo DrRiese,
> Hallo,
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> bereite mich gerade für die Klausur in der Linearen
> Algebra vor und bin auf etwas gestoßen, was sich mir noch
> nicht so ganz erschlossen hat.
> Die Dimension des Vektorraums der alternierenden
> Multilinearformen berechnet sich nach der Formel (bei dim
> V=n): dim [mm]\wedge^{p}(V)=\vektor{n \\ p}.[/mm]
> Die Dimension des
> Vektorraums der symmetrischen Multilinearformen (dim V=n):
> dim [mm]S^{p}(V)=\vektor{n+p-1 \\ p}[/mm]
> So richtig kann ich mir
> aber die beiden Formeln nicht herleiten. Wie kann man sich
> diese Formeln erklären?
Ich hoffe doch, dass ihr beide Formeln in der Vorlesung bewiesen also hergeleitet habt.
[mm] $\binom{n}{p}$ [/mm] ist die Anzahl p-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge passend zur Standardbasis [mm] $(a_{i_1}\wedge \ldots \wedge a_{i_k})_{1< i_1< \ldots < i_k < n}$. [/mm]
[mm] $\binom{n+p-1}{k}=\binom{n+p-1}{n-1}$ [/mm] ist die Anzahl der Multimengen http://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_%28Kombinatorik%29#Kombination_mit_Wiederholung
passend zur Standardbasis:
[mm] $(a_{i_1}\cdots a_{i_k})_{1\leq i_1\leq \ldots \leq i_k\leq n}$
[/mm]
> Schonmal vielen Dank im Voraus 
>
> LG,
> DrRiese
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Do 04.07.2013 | | Autor: | DrRiese |
Ne, leider haben wir die nicht bewiesen, das wurde alles ein wenig lieblos abgehandelt :-(
Warum haben wir denn eigentlich diesen Unterschied in der Formel bei den beiden Multilinearformen?
LG,
DrRiese
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> Ne, leider haben wir die nicht bewiesen, das wurde alles
> ein wenig lieblos abgehandelt :-(
>
> Warum haben wir denn eigentlich diesen Unterschied in der
> Formel bei den beiden Multilinearformen?
Weil es zwei verschiedene Objekte sind.
> LG,
> DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Fr 05.07.2013 | | Autor: | DrRiese |
Und wie kann man sich die Formel herleiten?
Bei alternierenden Multilinearformenist die Formel:
dim [mm] \wedge^{p}(V) [/mm] = [mm] \vektor{n \\ p}, [/mm] n=dim V.
Das bedeutet (wie z.B. bei 6 aus 49), dass
1.) die Reihenfolge egal ist ( 1,2 = 2,1 )
2.) ein Element nicht mehrmals vorkommen kann
zu 1.) [mm] (e^{*}_{i_{1}} \wedge e^{*}_{i_{2}} [/mm] ) =sign [mm] (e^{*}_{i_{2}} \wedge e^{*}_{i_{1}} [/mm] ) . Dementsprechend müssen die "doppelten" herausgenommen werden, da wir ansonsten keine lineare Unabhängigkeit haben.
zu 2.) [mm] (e^{*}_{i_{1}} \wedge e^{*}_{i_{1}} [/mm] ) [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] = [mm] e^{*}_{i_{1}} (v_{1}) e^{*}_{i_{1}} (v_{2}) [/mm] - [mm] e^{*}_{i_{1}} (v_{2}) e^{*}_{i_{1}} (v_{1}) [/mm] = 0. Kann kein Basiselement sein.
Ist diese Herleitung ok, oder habe ich da was falsch verstanden?
LG,
DrRiese
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> Und wie kann man sich die Formel herleiten?
z.B. indem man eine Basis angibt, siehe meinen ersten Post.
> Bei alternierenden Multilinearformenist die Formel:
>
> dim [mm]\wedge^{p}(V)[/mm] = [mm]\vektor{n \\ p},[/mm] n=dim V.
> Das bedeutet (wie z.B. bei 6 aus 49), dass
> 1.) die Reihenfolge egal ist ( 1,2 = 2,1 )
> 2.) ein Element nicht mehrmals vorkommen kann
Das ist extrem schwammig formuliert. Die Reihenfolge von was?
Welche Elemente? Die einer Basis?
> zu 1.) [mm](e^{*}_{i_{1}} \wedge e^{*}_{i_{2}}[/mm] ) =sign
> [mm](e^{*}_{i_{2}} \wedge e^{*}_{i_{1}}[/mm] ) .
Das sign von was? Und wieso betrachtest du nur den Spezialfall p=2?
Außerdem gilt:
[mm](e^{*}_{i_{1}} \wedge e^{*}_{i_{2}} ) = -(e^{*}_{i_{2}} \wedge e^{*}_{i_{1}})[/mm] .
> Dementsprechend
> müssen die "doppelten" herausgenommen werden, da wir
> ansonsten keine lineare Unabhängigkeit haben.
> zu 2.) [mm](e^{*}_{i_{1}} \wedge e^{*}_{i_{1}}[/mm] ) [mm](v_{1},v_{2})[/mm]
> = [mm]e^{*}_{i_{1}} (v_{1}) e^{*}_{i_{1}} (v_{2})[/mm] -
> [mm]e^{*}_{i_{1}} (v_{2}) e^{*}_{i_{1}} (v_{1})[/mm] = 0. Kann kein
> Basiselement sein.
Das ist o.k.
> Ist diese Herleitung ok, oder habe ich da was falsch
> verstanden?
>
>
> LG,
> DrRiese
P.S. In einer LaTeX -Formel sollten immer so viele linke wie rechte Klammern sein. Das System hier mag das noch vergeben, allerdings sieht es auch hier bereits furchtbar aus (der Abstand deiner hinteren klammern außerhalb der Umgebung ist viel zu groß.)
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