Münze werfen-99%,irgendwann W < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Wie oft muss man eine Münze werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% oder mehr mindestens einmal Wappen zu erhalten? |
Hallo.
Ich glaube, diese Aufgabe habe ich hier schon einmal im Forum gelesen. Habe aber nichts mit der Suche gefunden.
Wie löse ich diese Aufgabe denn "zielgerichtet"?
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen WErfen wappen erscheint ist
p= 0,5
dass bei zwei mal werfen einmal Wappen erscheint ist
p= 0,5 + [mm] 0,5^2
[/mm]
und so kann man das ja weiter machen
p= 0,5 + [mm] 0,5^2 [/mm] + [mm] 0,5^3
[/mm]
p= 0,5 + [mm] 0,5^2 [/mm] + [mm] 0,5^3 [/mm] + [mm] 0,5^4
[/mm]
Bis man dann bei 99% ist.
Und zielgerichtet? Gibts da einen Trick?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 16.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Phoney,
am besten ist, du schaust dir das Gegenereignis an:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei [mm]n[/mm] Würfen mindestens einmal Wappen erscheint, soll mindestens 99% sein. Das bedeutet doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei [mm]n[/mm] Würfen keinmal Wappen erscheint, höchsten 1% sein soll.
Mathematisch:
Nennen wir [mm]X[/mm] die Anzahl der Wappen bei [mm]n[/mm] Würfen. Dann:
[mm]P(X\geq 1)\geq 0,99[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]1-P(X=0)\geq 0,99[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]P(X=0)\leq 0,01[/mm]
Nun gibt es aber nur einen Pfad für "kein Wappen wird geworfen". Also gilt:
[mm]P(X=0)=0,5^n[/mm]
Nun kannst du [mm]n[/mm] einfach berechnen! 
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Astrid.
> am besten ist, du schaust dir das Gegenereignis an:
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass bei [mm]n[/mm] Würfen mindestens einmal
> Wappen erscheint, soll mindestens 99% sein. Das bedeutet
> doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei [mm]n[/mm] Würfen
> keinmal Wappen erscheint, höchsten 1% sein soll.
>
> Mathematisch:
>
> Nennen wir [mm]X[/mm] die Anzahl der Wappen bei [mm]n[/mm] Würfen. Dann:
>
> [mm]P(X\geq 1)\geq 0,99[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]1-P(X=0)\geq 0,99[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]P(X=0)\leq 0,01[/mm]
>
>
> Nun gibt es aber nur einen Pfad für "kein Wappen wird
> geworfen". Also gilt:
>
> [mm]P(X=0)=0,5^n[/mm]
>
> Nun kannst du [mm]n[/mm] einfach berechnen!
>
Schön, dann ist die Rechnung [mm] 0,5^n \leq0,1 [/mm] und somit n ungefähr gleich 7?
Vielen dank!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Danke Loddar. war ein Tippfehler
Warum ist es eigentlich
$ [mm] 0.5^n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0,01 $ und nicht
$ [mm] 0.5^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0,01 $
?
Also mit diesen Ungleichungszeichen komme ich auch nicht klar...
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 16.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
Laut Aufgabenstellung suchen wir ja eine Wahrscheinlichkeit mit mindestens (also: größer-gleich) 99%.
Und mit der Bestimmungsgleichung wird dann:
[mm] $1-0.5^n [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0.99$
Umgestellt ergibt sich dann die o.g. Ungleichung!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
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> Laut Aufgabenstellung suchen wir ja eine Wahrscheinlichkeit
> mit mindestens (also: größer-gleich) 99%.
>
>
> Und mit der Bestimmungsgleichung wird dann:
>
> [mm]1-0.5^n \ \red{\ge} \ 0.99[/mm]
>
> Umgestellt ergibt sich dann die o.g. Ungleichung!
>
Okay, super!
Dankeschööön
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Tippfehler? [mm] $0.5^n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 0.\red{0}1$
[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das stimmt dann wieder ...
