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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 13.07.2008 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Eine gezinkte Münze werde wiederhoit unabhängig geworfen" Bei jedem Wurf erscheint Kopf mit der
wahrscheinlichkeit 0.4 und zahl mit wahrscheinlichkeit 0.6. Berechnen Sie
(a) die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze bei 4 Würfen stets auf die gleiche Seite fällt
(b) die Wahrscheinlichkeitd, dass bei genau 5 von 10 Würfen Kopf erscheint;
(c) die approximative Wahrscheinlichkeit, dass bei 500 Würfen die relative Häufigkeit von Zahl mindestens 57 % beträgt" |
ich glaub ich steh bei allen teilaufgaben total aufm schlauch, weis überhaupt nicht wie ich anfangen soll :(
Bei a) hab ich ja garkein n gegeben, also weis ich auch nicht wie ich da anfangen soll. Vorallem auf welche seite?
Bei b) hab ichs mit binomialverteilung versucht.
und bei c weis ich garnicht was ich machen soll :(
wäre nett wenn ihr mir das erklären könntet...
Lg Mara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 13.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine gezinkte Münze werde wiederhoit unabhängig geworfen"
> Bei jedem Wurf erscheint Kopf mit der
> wahrscheinlichkeit 0.4 und zahl mit wahrscheinlichkeit
> 0.6. Berechnen Sie
> (a) die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze bei 4 Würfen
> stets auf die gleiche Seite fällt
Hier hast du [mm] \red{vier} [/mm] Würfe. Und es soll entweder immer Kopf oder immer Zahl. Wenn [mm] \green{k} [/mm] die Anzahl der "Zahlen" ergibt, und [mm] \blue{p} [/mm] die w-Keit dafür, also hier 0,6, dann suchst du:
[mm] \underbrace{\vektor{\red{4}\\\green{0}}*\blue{0,6}^{\green{0}}*(1-\blue{0,6})^{\red{4}-\green{0}}}_{\text{keinmal Zahl}}+\underbrace{\vektor{\red{4}\\\green{4}}*\blue{0,6}^{\green{4}}*(1-\blue{0,6})^{\red{4}-\green{4}}}_{\text{viermal Zahl}}
[/mm]
> (b) die Wahrscheinlichkeitd, dass bei genau 5 von 10
> Würfen Kopf erscheint;
Hier suchst du dann [mm] P(X=5)=\vektor{10\\5}*0,4^{5}*(1-0,4)^{10-5}=...(Ablesen [/mm] oder ausrechnen überlasse ich jetzt dir.)
> (c) die approximative Wahrscheinlichkeit, dass bei 500
> Würfen die relative Häufigkeit von Zahl mindestens 57 %
> beträgt"
> ich glaub ich steh bei allen teilaufgaben total aufm
> schlauch, weis überhaupt nicht wie ich anfangen soll :(
> Bei a) hab ich ja garkein n gegeben, also weis ich auch
> nicht wie ich da anfangen soll. Vorallem auf welche seite?
> Bei b) hab ichs mit binomialverteilung versucht.
> und bei c weis ich garnicht was ich machen soll :(
Ich vermute hier sollst du die aufaddierte W.Keitstafel verwednen, und bei n=500, p=0,6 und [mm] k=57%\text{von}500=285 [/mm] bestimmen. Also suchst du: [mm] P(X\red{\ge}285)=1-P(x\red{\le}284).
[/mm]
Um [mm] P(x\le284) [/mm] zu ermitteln, nutze dann die kumulierte Tabelle.
>
> wäre nett wenn ihr mir das erklären könntet...
>
> Lg Mara
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 13.07.2008 | | Autor: | Mara22 |
muss ich bei c) das nicht irgendwie in die Normalform bringen, sprich n*p und n*p*q und dann damit irgenwas anfangen?
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> muss ich bei c) das nicht irgendwie in die Normalform
> bringen, sprich n*p und n*p*q und dann damit irgenwas
> anfangen?
Hmm, ja, ich denke, Dir schwebt eine Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung vor. Sei $X$ die Anzahl mal, dass in $n := 500$ Würfen das Ereignis "Zahl" eingetreten ist. Wobei $p := 0.6$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei einem einzelnen Wurf Zahl eintritt. Dann ist
[mm]\mathrm{P}(0.57 n\leq X)=\mathrm{P}\left(\frac{0.57n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)\approx 1-\Phi\left(\frac{(0.57-p)n-0.5}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm]
wobei das erste Gleichheitszeichen gilt, weil man das Argument von [mm] $\mathrm{P}$ [/mm] (die Ungleichung) einfach passend äquivalent umgeformt hat. Weil aber die Zufallsvariable $Y := [mm] \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ [/mm] in guter Näherung standardnormalverteilt (insbesondere auch zentriert und normiert) ist, kann man die obige Näherung durch [mm] $\Phi$ [/mm] (der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Mara22 |
ich hab mir das jetz nochmal durchn kopf gehn lassen und hab folgendes gerechnet:
n*p= 500*0,6=300 = [mm] \mu
[/mm]
n*p*q= 500*0,6*0,4= 120= [mm] \delta^2
[/mm]
[mm] P(X-300/\wurzel{120}\le X-300/\wurzel{120})=0,57 [/mm] in der tabelle nachgeschaut ergibt 0,57=> 0,175
=> P(Z [mm] \le [/mm] X-300/10,95) = 0,175
nach X aufgelöst => X= 301,92
301,92/500 = 0,604
was haltet ihr von dem rechenweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 14.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich hab mir das jetz nochmal durchn kopf gehn lassen und
> hab folgendes gerechnet:
>
> n*p= 500*0,6=300 = [mm]\mu[/mm]
> n*p*q= 500*0,6*0,4= 120= [mm]\delta^2[/mm]
stimmt.
> [mm]P(X-300/\wurzel{120}\le X-300/\wurzel{120})=0,57[/mm] in der
> tabelle nachgeschaut ergibt 0,57=> 0,175
??? was du da machst, ist mir völlig schleierhaft.
57% bedeuten 285 mal Zahl
$P(X [mm] \ge [/mm] 285) [mm] \approx P\left(\frac{X - 300}{\sqrt{120}} \ge \frac{284.5 - 300}{\sqrt{120}}\right) \approx [/mm] 1 - [mm] \Phi\left(\frac{284.5 - 300}{\sqrt{120}}\right).$
[/mm]
Das schaust du dann in der Tabelle nach.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Mara22 |
also wenn wir diesen Ansatz hatten, dann haben wir in der Vorlesung immer so weitergerechnet.
wie kommst du denn auf die 285?
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Hallo,
in deiner Aufgabenstellung heißt es doch:
(c) die approximative Wahrscheinlichkeit, dass bei 500 Würfen die relative Häufigkeit von Zahl mindestens 57 % beträgt.
Das bedeutet
$P(500 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 500*0,57)=P(500 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 285)$
also die Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung:
$P(500 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge 285)=\sum_{n=285}^{500}{500 \choose n}*0,6^{n}*0,4^{500-n}$
[/mm]
oder angenähert durch eine Normalverteilung:
$P(500 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge 285)=\Phi\left(\bruch{500,5-300}{\wurzel{120}} \right)-\Phi\left(\bruch{284,5-300}{\wurzel{120}} \right)\approx 1-\Phi\left(\bruch{284,5-300}{\wurzel{120}} \right)$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Mara22 |
ok danke
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