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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mo 07.05.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | R ist Ring mit Eins, F freier Links-R Modul mit Bais X
Zeigen Sie:
a) Für jedes [mm] \pi \in [/mm] S(X) gibt es genau einen R-Endomorphismus
f [mm] _\pi [/mm] : F [mm] \to [/mm] F mit f [mm] _\pi [/mm] (x)= [mm] \pi(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X
b) Für jedes [mm] \pi \in [/mm] S(X) ist f [mm] _\pi [/mm] R - Automorphismus von F,
d.h. f [mm] _\pi [/mm] \ GL _R(F)
c) Durch [mm] \pi \to [/mm] f [mm] _\pi [/mm] , [mm] \pi \in [/mm] S(X), ist ein Gruppenhomomorphismus
S(X) [mm] \to [/mm] GL _R(F) gegeben. |
Zu a)
Ein Endomprohismus ist eine surjektive Abb., soweit ich weiß.
Ich müsste doch nur nachweisen, dass zu jedem [mm] \pi(x) [/mm] mindestens ein Urbild existiert. Nur wie gehe ich hier vor?
Was bedeutet hier genau f [mm] _\pi [/mm] (x)= [mm] \pi(x) [/mm] ?
Zu b)
Da fällt mit ein, dass Gl die Menge aller invertierbaren Elemente von F ist ist. Also müsste isch die Umkehrabblidung von f nachweisen, oder: Jedoch Wie komme ich nun von [mm] \pi(x) [/mm] wieder nach f [mm] _\pi [/mm] (x)? Damit wäre dann auch f bijektiv und ein Automorphismus.
Zu c) Ich muss einen injektiven Gruppenhomomorphismus nachweisen (Monomorphismus = inj. Abb.)
Das bedeutet, dass wenn ich ein Element aus S(X) nehme, ich dieses einfach mit eine Element aus der Abblidung f gleichsetzen muss, oder?
Sei also [mm] \pi \in [/mm] S(X), d.h. f( [mm] \pi [/mm] ) = f^-1 (das ist ja ein Element der Gl).
...jetzte komme ich nicht weiter, da ich mich frage, was oben f (x)= [mm] \pi [/mm] (x) genau bedeutet...
Danke und Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> R ist Ring mit Eins, F freier Links-R Modul mit Bais X
> Zeigen Sie:
>
> a) Für jedes [mm]\pi \in[/mm] S(X) gibt es genau einen
> R-Endomorphismus
> [mm]f_\pi : F \to F[/mm] mit [mm]f_\pi (x)= \pi(x)[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]
>
> b) Für jedes [mm]\pi \in S(X)[/mm] ist [mm]f_\pi[/mm] R-Automorphismus von
> F, d.h. [mm]f_\pi \in GL_R(F)[/mm]
>
> c) Durch [mm]\pi \mapsto f_\pi[/mm] , [mm]\pi \in S(X)[/mm], ist ein
> Gruppenhomomorphismus
> [mm]S(X) \to GL _R(F)[/mm] gegeben.
>
> Zu a)
> Ein Endomprohismus ist eine surjektive Abb., soweit ich
> weiß.
Nein: ein Endomorphismus ist einfach ein Homomorphismus von einem Modul in sich selbst.
> Ich müsste doch nur nachweisen, dass zu jedem [mm]\pi(x)[/mm]
> mindestens ein Urbild existiert. Nur wie gehe ich hier
> vor?
Nein, das musst du nicht. (Das musst du erst bei b).)
Du musst hier zeigen, dass es genau einen Endomorphismus $f : F [mm] \to [/mm] F$ gibt, der $f(x) = [mm] \pi(x)$ [/mm] erfuellt fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$. Und dieser soll mit [mm] $f_\pi$ [/mm] bezeichnet werden.
Also: zeige erstmal die Existenz von so einem (den kannst du effektiv konstruieren, indem du benutzt, dass $X$ eine Basis ist). Und dann nimm dir zwei solche Endomorphismen und zeige, dass sie gleich sind.
Wenn du nicht weiterkommst, schau vielleicht mal zurueck in die lineare Algebra. Wenn du einen Koerper $K$ hast und eine lineare Abbildung [mm] $K^n \to K^m$, [/mm] dann ist sie durch die Bilder der Basisvektoren bereits eindeutig bestimmt, und zu jeder Wahl von [mm] $v_1, \dots, v_n \in K^m$ [/mm] gibt es genau eine lineare Abbildung [mm] $K^n \to K^m$, [/mm] die den $i$-ten Basisvektor (einer vorher fest gewaehlten Basis) auf [mm] $v_i$ [/mm] abbildet. Genau das zeigst du im Prinzip hier auch, bzw. den Spezialfall, dass die Bilder nicht beliebige Elemente sind, sondern eine Permutation der Basis.
> Zu b)
> Da fällt mit ein, dass Gl die Menge aller invertierbaren
> Elemente von F ist ist.
Nein, es ist die Gruppe aller Automorphismen von $F$, also aller bijektiven Endomorphismen. Du musst also zeigen, dass [mm] $f_\pi$ [/mm] fuer jedes [mm] $\pi$ [/mm] tatsaechlich bijektiv ist.
Das geht am einfachsten, wenn du schon einen Grossteil von c) zeigst: das naemlich fuer [mm] $\sigma, \tau \in [/mm] S(X)$ gilt [mm] $f_{\sigma \circ \tau} [/mm] = [mm] f_\sigma \circ f_\tau$. [/mm] Dazu benutzt du am einfachsten die Eindeutigkeit aus a), du zeigst also, dass [mm] $f_\sigma \circ f_\tau$ [/mm] auf $X$ sich genauso verhaelt wie [mm] $f_{\sigma \circ \tau}$.
[/mm]
Damit folgt dann [mm] $f_{id_X} [/mm] = [mm] f_{\sigma \circ \sigma^{-1}} [/mm] = [mm] f_\sigma \circ f_{\sigma^{-1}}$ [/mm] und ebenso [mm] $f_{id_X} [/mm] = [mm] f_{\sigma^{-1}} \circ f_\sigma$. [/mm] Wenn du jetzt noch zeigst, dass [mm] $f_{id_X}$ [/mm] die Identitaet auf $F$ ist (das kannst du wieder mit der Eindeutigkeit aus a) machen: zeige, dass [mm] $id_F$ [/mm] sich genauso wie [mm] $f_{id_X}$ [/mm] auf $X$ verhaelt), dann folgt daraus, dass [mm] $f_\sigma$ [/mm] bijektiv ist.
> Zu c) Ich muss einen injektiven Gruppenhomomorphismus
> nachweisen (Monomorphismus = inj. Abb.)
Genau.
> Das bedeutet, dass wenn ich ein Element aus S(X) nehme,
> ich dieses einfach mit eine Element aus der Abblidung f
> gleichsetzen muss, oder?
> Sei also [mm]\pi \in[/mm] S(X), d.h. f( [mm]\pi[/mm] ) = f^-1 (das ist ja
> ein Element der Gl).
Das versteh ich jetzt nicht...
Mach das doch so: ein Gruppenhomomorphismus ist injektiv genau dann, wenn der Kern nur aus der Identiaet besteht. Nimm dir also ein [mm] $\pi \in [/mm] S(X)$ mit [mm] $f_\pi [/mm] = [mm] id_F$ [/mm] und zeige, dass bereits [mm] $\pi [/mm] = [mm] id_X$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 07.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Danke für die Antwort!
Werde das heute abend mal ganz ruhig durchgehen.
Ich habe Schwierigkeiten in solchen Fällen, zu verstehen, was ich zeigen muss. Mal ganz abgesehn davon, wie ich es dann zeige.
Gibt es eine Art Schritt für Schritt - Methode, wie man an solche Aufgaben herangeht?
Prinzipiell sucht man sich doch immer Elemente aus der einen Menge, die dann auf die andere Menge abgebildet werden und sieht nach, ob das mit den Def. auch funktioniert, oder?
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:50 Di 08.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Vielen Dank nochmal!
Ich habe mal Deinen Tipp aufgenommen und in der LA nachgeschaut. Da ist es so, dass man den Nachweis darüber führt, dass man unterschiedliche Koeffizienten nimmt und zeigt dass deren Differenzen wieder jeweils Koeffizienten ergeben, die dann an die v's heranmultipliziert v-v ergibt, also v-v = 0 .
Das könnte ich ja hier prinzipiell auch machen. Was meinst Du jedoch mit "Permutation?"
Ich weiß immer noch nicht genau, was dieser Ausdruck [mm] \pi [/mm] (x) genau bedeutet. Ist damit ein Vektor aus X gemeint, der sich mit [mm] f_\pi [/mm] darstellen lässt? [mm] \pi [/mm] ist doch ein Vektor aus X. Wie kann ich denn mit einem Vektor wieder enen Vektor in X darstellen? X ist doch Basis... das heißt doch, die Vektoren sind linear unabhängig... Hm?
Lieben Gruß
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Di 08.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Nehmen wir einmal an die Basis X ist endlich und besteht aus n Elementen:
$X = [mm] \{ x_1, x_2, ... , x_n\}$
[/mm]
Dann ist jedes [mm] $\pi$ [/mm] eine sogenannte Permutation der Menge X, also eine bijektive Abbildung von X in sich. Für jedes i (0<i<n+1) gilt dann:
[mm] $\pi (x_i) [/mm] = [mm] x_j$ [/mm] für 0 < j < n+1 geeignete.
Zu jeder dieser Permutation existiert eine Permutations-Matrix. In einer Matrix stehen die Bilder der einzelnen Basiselemente als Linearkombinationen der Basis, d.h. für eine Permutationsmatrix:
In jeder Spalte steht genau eine Eins und der Rest sind Nullen.
Gleiches gilt für die Zeilen.
Das einzige Problem ist nur, dass Deine Basis nicht endlich sein muss. Jetzt arbeitest Du halt nur mit der Bijektivität von [mm] $\pi$ [/mm] und die Darstellung der R-Endomorphismen f über Matrizen fällt weg ...
Insgesamt ist es dann auch schwieriger die Eindeutigkeit eines Endomorphismus hinzuschreiben etc. ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 08.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo und Danke!
Um die Eindeutigkeit eines Endomorphismus hinzuschreiben muss ich doch lediglich zeigen, dass ein x aus der Basis als eindeutige Linearkombination darstellbar ist.
So was ähnliches hatten wir doch neulich, als es um den Schnitt affin unabhängige UVR eines affinen Raumes ging.
Da hatten wir dann ein x mit zwei verschiedenen Linearkombinationen dargestellt und dann bewiesen, dass die Koeffizienten eindeutig erzeugt sind. Damit war dann auch das x eindeutig erzeugt.
Kann man das hier brauchen?
Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> Um die Eindeutigkeit eines Endomorphismus hinzuschreiben
> muss ich doch lediglich zeigen, dass ein x aus der Basis
> als eindeutige Linearkombination darstellbar ist.
Und das ist es gerade, weil es eine Basis ist. (Die ist gerade so definiert.)
> So was ähnliches hatten wir doch neulich, als es um den
> Schnitt affin unabhängige UVR eines affinen Raumes ging.
> Da hatten wir dann ein x mit zwei verschiedenen
> Linearkombinationen dargestellt und dann bewiesen, dass die
> Koeffizienten eindeutig erzeugt sind. Damit war dann auch
> das x eindeutig erzeugt.
> Kann man das hier brauchen?
Das ist im Prinzip genau die gleiche Rechnung. Vektorraeume sind halt immer freie Moduln. Und im Prinzip geht alles, was du fuer Vektorraeume kennst, (fast) genauso fuer freie Moduln.
LG Felix
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