Morgan. Komplementierungsregel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Fr 10.04.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo
Ich tue mich etwas schwer mit der Morganschen Komplentierungsregel. Es gilt ja:
[mm] (\bigcup_{M=\mathcal{A}}M)'=\bigcap_{M=\mathcal{A}}M' [/mm] und [mm] (\bigcap_{M=\mathcal{A}}M)'=\bigcup_{M=\mathcal{A}}M'
[/mm]
Ich verstehe nicht so richtig den Sinn dieser Aussage
Ich habe das versucht zu veranschaulichen:
Also der erste Teil sagt : Das Komplement der Vereinigung ist gleich dem Durchschnitt der Komplimente
Ich bin von mindestens zwei Mengen ausgegangen, weil eine Menge weder einer Vereinigung noch einen Durchschnitt bilden kann.
Also dann
[mm] M_{1}:=\{1,2,3\}
[/mm]
[mm] M_{2}:=\{2,3,4,5\},
[/mm]
so wäre die Vereinigung [mm] M_{1} \cup M_{2}=\{1,2,3,4,5\} [/mm]
und der Durchschnitt [mm] M_{1} \cap M_{2}=\{2,3\}.
[/mm]
Und wenn ich das Kopmlement der beiden Mengen bilde,
so ist [mm] M_{1}':=\{1\} [/mm]
und [mm] M_{2}':=\{4,5\}
[/mm]
Hmmm, wäre dann der Durchschnitt eine leere Menge.
Ich merke schon dass das Unsinn wird, aber irgenwo habe ich einen Denkfehler.
Dementsprechend habe ich auch an diesem anscheinend simplen Beispiel ein versändnisproblem:
Wenn [mm] M_{k}:=\{1,2,3,...n\} [/mm] ist, so ist z.B [mm] \bigcup_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\IN [/mm] und [mm] \bigcap_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\{1\} [/mm]
Ich habe speziel an diesem Beispiel mit dem zweiten Ausdruck schwierigkeit. Wieso ist [mm] \bigcap_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\{1\}??? [/mm] Wie kann man sich das erklären . ???
Irgendwie leuchtet mir das nicht so richtig ein.
Das wäre echt nice, wenn hier mir helfen könntet, und weiterhin
fröhliche Ostern
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo
>
> Ich tue mich etwas schwer mit der Morganschen
> Komplentierungsregel. Es gilt ja:
>
> [mm](\bigcup_{M=\mathcal{A}}M)'=\bigcap_{M=\mathcal{A}}M'[/mm] und
> [mm](\bigcap_{M=\mathcal{A}}M)'=\bigcup_{M=\mathcal{A}}M'[/mm]
>
> Ich verstehe nicht so richtig den Sinn dieser Aussage
>
> Ich habe das versucht zu veranschaulichen:
> Also der erste Teil sagt : Das Komplement der Vereinigung
> ist gleich dem Durchschnitt der Komplimente
>
> Ich bin von mindestens zwei Mengen ausgegangen, weil eine
> Menge weder einer Vereinigung noch einen Durchschnitt
> bilden kann.
Klar geht das: Vereinigung und Durchschnitt einer Menge mit sich selbst ist wieder die Menge selbst. Nicht besonders interessant, aber möglich.
> Also dann
> [mm]M_{1}:=\{1,2,3\}[/mm]
> [mm]M_{2}:=\{2,3,4,5\},[/mm]
> so wäre die Vereinigung [mm]M_{1} \cup M_{2}=\{1,2,3,4,5\}[/mm]
> und der Durchschnitt [mm]M_{1} \cap M_{2}=\{2,3\}.[/mm]
> Und wenn
> ich das Kopmlement der beiden Mengen bilde,
> so ist [mm]M_{1}':=\{1\}[/mm]
> und [mm]M_{2}':=\{4,5\}[/mm]
Das Komplement bezieht sich immr auf die Obermenge, deren Teilmengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] sind. Wenn es hier zum Beispiel um [mm] $\IN$ [/mm] als OBermengee geht, dann ist [mm] $M_1'$ [/mm] die Menge aller natürlichen Zahlen ab 4, also [mm] $M_1' [/mm] = [mm] \{4,5,6,\dots\}$.
[/mm]
Der Einfachheit halber nehme ich mal an, die Obermenge sei [mm] $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. [/mm] dann ist [mm] $M_1' ={4,5,6,7,8\}$ [/mm] und [mm] $M_2' =\{1,6,7,8\}$. [/mm] Also ist [mm]M_{1}' \cup M_{2}' = \{1,4,5,6,7,8\} = (M_{1} \cap M_{2})'[/mm] und [mm]M_{1}' \cap M_{2}' = \{6,7,8\} = (M_{1} \cup M_{2})'[/mm].
> Dementsprechend habe ich auch an diesem anscheinend simplen
> Beispiel ein versändnisproblem:
> Wenn [mm]M_{k}:=\{1,2,3,...n\}[/mm] ist, so ist z.B
> [mm]\bigcup_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\IN[/mm] und
> [mm]\bigcap_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\{1\}[/mm]
> Ich habe speziel an diesem Beispiel mit dem zweiten
> Ausdruck schwierigkeit. Wieso ist
> [mm]\bigcap_{k=1}^{unendlich}M_{k}=\{1\}???[/mm] Wie kann man sich
> das erklären . ???
Schreib dir den Durchschnitt mal für ein paar Mengen hin:
[mm] $M_1 \cap M_2$, [/mm] $ [mm] $M_1 \cap M_2\cap M_3$, [/mm] $ [mm] $M_1 \cap M_2\cap M_3\cap M_4$.
[/mm]
Der Durchschnitt aller Mengen [mm] $M_k$ [/mm] kann nicht mehr Elemente als [mm] $M_1$ [/mm] enthalten. Anders ausgedrückt: 1 ist das einzige Element, dass in allen Mengen [mm] $M_k$ [/mm] vorkommt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 14.04.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deine Hilfe, war mir nicht so klar das das Komplement sich immer auf die Obermenge bezieht.
Ich wollte nun eine Teilausage von der morganschen Komplementierungsregel beweisen, nämlich
[mm] (\bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)'=\bigcup_{M\in\mathcal{A}}M' [/mm]
Das wäre echt nett wenn ihr mich berichtigen könntet, falls im Beweis ein Fehler versteckt ist.
Vorerst definiere ich [mm] \mathcal{A} [/mm] als ein nicht leeres System von Mengen und [mm] \lambda [/mm] als die Universalmenge, wobei dann alle Mengen [mm] M\in \mathcal{A} [/mm] Teilmengen der festen Universalmengen ist.
Beweis. [mm] x\in(\bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)'\gdw(x\in\lambda \wedge x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)\gdw(x \not\in{M} \forall M\in\mathcal{A})\gdw x\in{M}'\forall M\in\mathcal{A}\gdw x\in\bigcup_{M\in\mathcal{A}}M'
[/mm]
Ist das so richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe, war mir nicht so klar das das
> Komplement sich immer auf die Obermenge bezieht.
>
> Ich wollte nun eine Teilausage von der morganschen
> Komplementierungsregel beweisen, nämlich
> [mm](\bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)'=\bigcup_{M\in\mathcal{A}}M'[/mm]
> Das wäre echt nett wenn ihr mich berichtigen könntet, falls
> im Beweis ein Fehler versteckt ist.
>
> Vorerst definiere ich [mm]\mathcal{A}[/mm] als ein nicht leeres
> System von Mengen und [mm]\lambda[/mm] als die Universalmenge, wobei
> dann alle Mengen [mm]M\in \mathcal{A}[/mm] Teilmengen der festen
> Universalmengen ist.
>
> Beweis. [mm]x\in(\bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)'\gdw(x\in\lambda \wedge x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)\gdw(x \not\in{M} \forall M\in\mathcal{A})\gdw x\in{M}'\forall M\in\mathcal{A}\gdw x\in\bigcup_{M\in\mathcal{A}}M'[/mm]
>
> Ist das so richtig???
Nein!
Richtig ist:
[mm] x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M \gdw [/mm] es ex. ein [mm] M\in\mathcal{A} [/mm] mit [mm] $x\not\in [/mm] M$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 14.04.2009 | | Autor: | ggg |
Ich verstehe nicht so ganz wie du das meinst.
Ich habe das hier doch so erwähnt oder ist das in der falschen Stelle
( [mm] x\in\lambda \wedge x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M [/mm] )
Gruß
ggg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe nicht so ganz wie du das meinst.
> Ich habe das hier doch so erwähnt oder ist das in der
> falschen Stelle
>
> ( [mm]x\in\lambda \wedge x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M[/mm] )
in Formeln kannst Du mit [mm]\green{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Teile grün einfärben. Du hattest oben geschrieben:
$\;\;\;(x\in\lambda \wedge x\not\in \bigcap_{M\in\mathcal{A}}M)\gdw(x \not\in{M} \forall M\in\mathcal{A})\,.$
Das ist Quatsch. Die Aussage $x \notin \bigcap_{M \in \mathcal{A}}M}$ heißt nichts anderes, als dass
$\;\;\;\neg \Big(x \in \bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)\,.$
Ausgesprochen:
Es gilt nicht, dass $x \in \bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\,;$ oder anderes gesagt:
Es gilt nicht, dass ($x \in M$ für alle $M \in \mathcal{A}$); oder nochmal anders ausgedrückt:
Es gibt ein $M \in \mathcal{A}$ so, dass $x \notin M\,.$
Also hier das ganze mal formal:
$\;\;\;x \notin \bigcap_{M \in \mathcal{A}} M$
$\;\;\;\gdw \neg\Big(x \in \bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)$
$\;\;\;\gdw \neg\Big(\forall M \in \mathcal{A}:\;\;x \in M \Big)$
$\;\;\;\gdw \exists M \in \mathcal{A}:\;\neg(x \in M)$
$\;\;\;\gdw \exists M \in \mathcal{A}: x \notin M\,.$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 14.04.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für den Tipp, ich habe mich gewundert wieso das mit dem einfärben nicht geklappt hat.
Apropos, wie würde dann der Beweis richtig lauten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
behauptet wird doch:
$$\Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)'=\bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}\,.$$
Deinen Ansatz mit einer Universalobermenge $\lambda$ kann man machen, braucht man aber eigentlich nicht wirklich (man muss sich dann nur darüber im Klaren bzw. einig sein, wie die Komplemente $M'$ zu verstehen sind).
Nun kann man das ganze so aufschreiben, wie Du es getan hast, oder man erinnert sich daran, was man mal in der Mengenlehre gelernt hat:
Zwei Mengen $A\,$ und $B\,$ erfüllen $A=B\,$ genau dann, wenn sowohl $A \subset B$ als auch $B \subset A$ gilt.
Oben:
Wir zeigen zunächst ' $\Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)' \subset \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}$ ':
Sei $x \in \Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)'$. Dann gilt (analog zu eben):
Es gibt ein $M_0 \in \mathcal{A}$ mit $x \notin M_0$ $\Rightarrow$ $x \in M_0'\,.$
Wegen $M_0 \in \mathcal{A}$ gilt somit $M_0' \subset \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}$. Wegen $x \in M_0'$ und $M_0' \subset \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}$ folgt somit $x \in \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}\,.$ Da $x \in \Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)'$ beliebig war, folgt somit
$$\Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)' \subset \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'\,.$$
Nun zeigen wir ' $\bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'} \subset \Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)'$ ':
Sei $x \in \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}\,.$ Dann existiert ein $M_1 \in \mathcal{A}$ mit $x \in M_1'$...
(Bitte versuche mal, das zu Ende zu schreiben!)
Natürlich kannst Du auch, anstatt den Beweis wie oben in zwei Teile zu zerlegen, das ganze kurz auch so notieren:
$$x \in \Big(\bigcap_{M \in \mathcal{A}}M\Big)' \;\;\blue{\gdw}\;\; \exists M \in \mathcal{A}:\;x \in M'\;\; \green{\gdw} \;\;x \in \bigcup_{M \in \mathcal{A}}M'}\,.$$
Das ist aber sehr sehr knapp, und wenn man das macht, dann muss man wenigstens für sich selbst überprüfen, dass bei $\blue{\gdw}$ sowohl die Folgerung $\blue{\Rightarrow}$ als auch $\blue{\Leftarrow}$ stimmt, und ebenso, dass bei $\green{\gdw}$ sowohl die Folgerung $\green{\Rightarrow}$ als auch $\green{\Leftarrow}$ gilt.
Die Kurfassung mit $\blue{\gdw}$ und $\green{\gdw}$ ist also eher etwas für Leute, die genug Übung bzw. Erfahrung mit solchen Beweisen haben oder für solche, die halt den Überblick bei solchen Beweisen behalten.
Anfangs empfehle ich immer, eine Mengengleichheit $A=B\,$ so zu beweisen, dass man sowohl $A \subset B$ als auch $B \subset A$ nachweist.
Gruß,
Marcel
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