Monotonie einer Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] stetig diffbar. Zeige dass für jede Lösung $x: I [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] der DGL $x' = f(x)$ genau eine der folg. Aussagen gilt:
1) $x$ ist streng monoton steigend
2) $x$ ist konstant
3) $x$ ist streng monoton fallend |
Hallo,
Sei [mm] x(t_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] ein Anfwangswert der DGL
Angenommen $x$ ist nicht streng monton, dann existiert ein [mm] $\tau \in [/mm] I$ sodass [mm] $x'(\tau) [/mm] = 0$, also [mm] $x'(\tau) [/mm] = [mm] f(x(\tau)) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x: t [mm] \mapsto x_0$ [/mm] ist Lösung der DGL.
Da aber $f$ stetig diffbar, also lokal L-stetig, muss die Lösung eindeutig sein. Also hat man einen Widerspruch.
Geht das so?
lgg
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Sorry hier stimmt was nicht ich werde meinen ersten Post nochmal überarbeiten müssen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Fr 27.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
Also als kleiner Tipp nimm doch einmal an es wäre nicht so es gibt also es gäbe eine nicht monotone Lösung auf einem Intervall so das gilt für a,b aus diesem Intervall ist x'(a)>0 und x'(b)<0.
X hat auf dem kompakten Intervall [a,b] als stetige Funktion ein Maximum....
so und jetzt du weiter mit Zwischenwertsatz gilt dann was??
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