Monotonie einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn ich die Monotonie einer FOlge bestimmen möchte, wie gehe ich da am besten vor?
Wir hatten zB eine Aufgabe, wo man als erstes die ersten 4 Folgenglieder ermitteln sollte. Anhand dessen habe ich gesagt, ob zB [mm] c_{n} [/mm] immer kleiner bzw größer als [mm] c_{n+1} [/mm] ist.
Aber ich habe noch Definitionen gesehen wie diese:
[mm] c_{n+1} [/mm] - [mm] c_{n} [/mm] > 0 (bei [mm] 3^n) [/mm] oder [mm] c_{n+1}/c_{n} [/mm] < 1 (bei 1/ [mm] \wurzel{n})
[/mm]
Wäre meine Vorgehensweise auch korrekt und ausreichend?
Außerdem habe ich noch eine Frage zur Beschränkung von Folgen.
Wie finde ich in der Regel die obere bzw untere Schranke? Immer durch Ausprobieren?
Und: Ist eine Folge nur dann beschränkt, wenn sie nach oben UND unten beschränkt ist?
Danke!
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> wenn ich die Monotonie einer FOlge bestimmen möchte, wie
> gehe ich da am besten vor?
>
> Wir hatten zB eine Aufgabe, wo man als erstes die ersten 4
> Folgenglieder ermitteln sollte. Anhand dessen habe ich
> gesagt, ob zB [mm]c_{n}[/mm] immer kleiner bzw größer als [mm]c_{n+1}[/mm]
> ist.
Hallo,
diese Vorgehensweise ist nützlich, um eine Idee zu bekommen, ob die Folge wächst oder fällt oder nichts von alledem.
Als Beweis ist es jedoch absolut untauglich.
Eine Folge [mm] (c_n) [/mm] heißt ja monoton wachsend, wenn für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] c_{n+1}\ge c_n.
[/mm]
Um dies nachzuweisen ist es meist am einfachsten, wenn man die Differenz bzw. den Quotienten zweier aufeinanderfolgender beliebiger Folgenglieder bildet, genauso, wie Du es auch schreibst:
Man schaut, ob [mm] c_{n+1}- c_n\ge [/mm] 0 bzw. schaut sich den Quotienten [mm] c_{n+1}/c_n [/mm] an. Letzteres ist unproblematisch, sofern alle Folgenglieder >0 sind, dann schaut man nämlich nach, ob [mm] c_{n+1}/c_n \ge [/mm] 1 gilt für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Hat man es auch mit negativen Folgengliedern zu tun, müßte man ziemlich aufpassen, man sieht das recht gut am Beispiel:
[mm] a_1=-5
[/mm]
[mm] a_2=-4
[/mm]
[mm] a_3=-2
[/mm]
[mm] a_4=2
[/mm]
[mm] a_5=4
[/mm]
[mm] a_6=4
[/mm]
[mm] a_7=4
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
>
> Aber ich habe noch Definitionen gesehen wie diese:
>
> [mm]c_{n+1}[/mm] - [mm]c_{n}[/mm] > 0 (bei [mm]3^n)[/mm] oder [mm]c_{n+1}/c_{n}[/mm] < 1 (bei
> 1/ [mm]\wurzel{n})[/mm]
>
> Wäre meine Vorgehensweise auch korrekt und ausreichend?
Nein.
>
> Außerdem habe ich noch eine Frage zur Beschränkung von
> Folgen.
>
> Wie finde ich in der Regel die obere bzw untere Schranke?
> Immer durch Ausprobieren?
Ich finde es schwer, hierauf eine Antwort zu geben, denn Folgen können ganz verschieden aussehen.
Sehr oft wird man eine idee für eine obere Schranke nicht durch Ausprobieren bekommen, sondern durch Anschauen der Folge.
> Und: Ist eine Folge nur dann beschränkt, wenn sie nach oben
> UND unten beschränkt ist?
Ja. Beschränkte Folgen sind nach oben und unten beschränkt. Sind sie einseitig beschränkt, so würde man von einer nach oben bzw. nach unten beschränkten Folge sprechen.
Gruß v. Angela
>
> Danke!
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> Eine Folge [mm](c_n)[/mm] heißt ja monoton wachsend, wenn für alle
> [mm]n\in \IN[/mm] gilt [mm]c_{n+1}\ge c_n.[/mm]
>
Ist im Umkehrschluss eine Folge monoton fallend, wenn kleiner gleich gilt?
> Um dies nachzuweisen ist es meist am einfachsten, wenn man
> die Differenz bzw. den Quotienten zweier
> aufeinanderfolgender beliebiger Folgenglieder bildet,
> genauso, wie Du es auch schreibst:
>
> Man schaut, ob [mm]c_{n+1}- c_n\ge[/mm] 0 bzw. schaut sich den
> Quotienten [mm]c_{n+1}/c_n[/mm] an.
und gilt hier dann für eine fallende Folge, dass es kleiner gleich 0 lautet bei der Differenz? Und wie lautet dann das jeweilige Ergebnis beim Quotienten? Größer gleich 1, dann ist es wachsend, für kleiner gleich 1 fallend?
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> > Eine Folge [mm](c_n)[/mm] heißt ja monoton wachsend, wenn für alle
> > [mm]n\in \IN[/mm] gilt [mm]c_{n+1}\ge c_n.[/mm]
> >
>
> Ist im Umkehrschluss eine Folge monoton fallend, wenn
> kleiner gleich gilt?
Genau.
> > Um dies nachzuweisen ist es meist am einfachsten, wenn man
> > die Differenz bzw. den Quotienten zweier
> > aufeinanderfolgender beliebiger Folgenglieder bildet,
> > genauso, wie Du es auch schreibst:
> >
> > Man schaut, ob [mm]c_{n+1}- c_n\ge[/mm] 0 bzw. schaut sich den
> > Quotienten [mm]c_{n+1}/c_n[/mm] an.
>
> und gilt hier dann für eine fallende Folge, dass es kleiner
> gleich 0 lautet bei der Differenz?
Ja.
> Und wie lautet dann das
> jeweilige Ergebnis beim Quotienten? Größer gleich 1, dann
> ist es wachsend, für kleiner gleich 1 fallend?
Ja.
Alles richtig gedacht.
lg,
reverend
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Super, vielen Dank soweit! Werd ich mir notieren!
Ich habe noch ein kleines Problem mit der Folgen-Konvergenz.
Und zwar soll ich die Konvergenz der Folge bestimmen und ggf den Grenzwert: [mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] -n
Wir haben hier sehr kompliziert erweitert, bis wir auf [mm] \bruch {n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] gekommen sind, haben dann auf [mm] \bruch {n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] gekürzt, noch einen Rechenschritt gemacht [mm] (\bruch {1}{\wurzel{1+ 1/n} + 1} [/mm] und als GW 1/2 herausbekommen. Aber ich kann den Rechenschritten überhaupt nicht folgen, dabei tüftle ich schon seit einer halben Stunde oder mehr.
Eine andere Frage ist, ob ihr eine gute Zusammenfassung der wichtigsten Aussagen zur Konvergenz bzw Divergenz der geometrischen Folge kennt. Ich habe hier eine sehr lange und ausführliche, aber das muss auch kürzer zu raffen sein. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr eine gute Zusammenfassung habt, die man leichter lernen kann.
Und (ich möchte nicht extra einen neuen Thread eröffnen, vielleicht geht das auch so):
Ich soll zeigen, dass für die geometrische Reihe bzw die n-te Partialsumme [mm] S_n [/mm] gilt: Ist q ungleich 1, dann folgt: [mm] \bruch{1-q^(n+1)}{1-q}. [/mm] Wir haben damit begonnen (1-q) mit [mm] S_n [/mm] zu multiplizieren, aber ich verstehe nicht ganz wieso und wie man dann auf das Ergebnis kommt, dass dies 1-q^(n+1) ergibt UND dass dann auch der Term [mm] \bruch{1-q^(n+1)}{1-q} [/mm] gilt.
Ich bedanke mich im Voraus für eure Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Englein.
Ich versuche mich mal an deinen diversen Fragen entlangzuhangeln. 
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> Und zwar soll ich die Konvergenz der Folge bestimmen und
> ggf den Grenzwert: [mm]\wurzel{n^2 + n}[/mm] -n
>
> Wir haben hier sehr kompliziert erweitert, bis wir auf
> [mm]\bruch {n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm] gekommen sind,
Das ist gar nicht so kompliziert, sondern sogar sehr naheliegend, wenn man sich ein wenig an den Umgang mit der 3. binomischen Formel gewöhnt hat. Irgendwann sieht man das dann sofort.
Ich notier das mal ausführlich:
[mm]\wurzel{n^2 + n}[/mm] -n
= [mm] (\wurzel{n^2 + n} [/mm] - n) * 1
= [mm] (\wurzel{n^2 + n} [/mm] - n) * [mm] \bruch{\wurzel{n^2 + n} + n}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
Dies ist ein "Trick" der in der Analysis sehr oft benutzt und benötigt wird. Wir multiplizieren mit 1 und setzen dort einen Bruch ein, um beispielsweise einen Zähler oder Nenner über die dritte binomische Formel zu vereinfachen - oder zielbringend umzuformen.
Denn wenn wir den Zähler ausmultiplizieren erhalten wir:
= [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + n} - n)*(\wurzel{n^2 + n} + n)}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
= [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + n})^2 - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] (3. binomische Formel !)
= [mm] \bruch{n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
> haben dann auf [mm]\bruch {n}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm] gekürzt,
[mm] n^2 [/mm] + n - [mm] n^2 [/mm] = n. Das siehst du denke ich. Gekürzt wurde da nicht.
> noch einen Rechenschritt gemacht [mm](\bruch {1}{\wurzel{1+ 1/n} + 1}[/mm]
Hier wird es wieder interessant. als erstes wurde im Nenner "n" ausgeklammert.
= [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{n * (\bruch{\wurzel{n^2 + n}}{n} + 1)} [/mm]
hier jetzt n kürzen. Dann fehlt nicht mehr viel bis zum Ergebnis.
Es sind aber ein paar Kenntnisse über Rechenschritte mit Wurzeln vonnöten. Zunächst schreiben wir n als [mm] \wurzel{n^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^2 + n}}{\wurzel{n^2}} + 1} [/mm]
und dies ist sicherlich (schau es dir mal in Ruhe an) identisch mit:
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{n^2 + n}{n^2}} + 1} [/mm]
und daraus erhält man ganz einfach:
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} + 1} \rightarrow \bruch{1}{2}
[/mm]
> und als GW 1/2 herausbekommen. Aber ich kann den
> Rechenschritten überhaupt nicht folgen, dabei tüftle ich
> schon seit einer halben Stunde oder mehr.
Ich hoffe, mit dieser ausführlichen Notation fällt dir das Nachvollziehen etwas einfacher.
> Eine andere Frage ist, ob ihr eine gute Zusammenfassung der
> wichtigsten Aussagen zur Konvergenz bzw Divergenz der
> geometrischen Folge kennt. Ich habe hier eine sehr lange
> und ausführliche, aber das muss auch kürzer zu raffen sein.
> Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr eine gute Zusammenfassung
> habt, die man leichter lernen kann.
Zur geometrischen Folge? Spontan leider nein. Vielleicht kannst du ja mal versuchen, deinen Kenntnisstand dazu kurz zusammenzufassen. Eventuell kann ich dann (oder jemand von den "Profis" hier, Angela oder MathePower oder so) darauf aufbauen.
> Und (ich möchte nicht extra einen neuen Thread eröffnen,
> vielleicht geht das auch so):
> Ich soll zeigen, dass für die geometrische Reihe bzw die
> n-te Partialsumme [mm]S_n[/mm] gilt: Ist q ungleich 1, dann folgt:
> [mm]\bruch[/mm] {1-q^(n+1)}{1-q}. Wir haben damit begonnen(1-q) mit
> [mm]S_n[/mm] zu multiplizieren, aber ich verstehe nicht ganz wieso
> und wie man dann auf das Ergebnis kommt, dass dies
> 1-q^(n+1) ergibt UND dass dann auch der Term [mm]\bruch[/mm]
> {1-q^(n+1)}{1-q} gilt.
>
> Ich bedanke mich im Voraus für eure Mühe!
>
Darauf möchte ich mit einem weiteren Beitrag eingehen. Dieser ist schon ziemlich lang geworden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Und (ich möchte nicht extra einen neuen Thread eröffnen,
> vielleicht geht das auch so):
> Ich soll zeigen, dass für die geometrische Reihe bzw die
> n-te Partialsumme [mm]S_n[/mm] gilt: Ist q ungleich 1, dann folgt:
> [mm]\bruch[/mm] {1-q^(n+1)}{1-q}. Wir haben damit begonnen(1-q) mit
> [mm]S_n[/mm] zu multiplizieren, aber ich verstehe nicht ganz wieso
> und wie man dann auf das Ergebnis kommt, dass dies
> 1-q^(n+1) ergibt UND dass dann auch der Term [mm]\bruch[/mm]
> {1-q^(n+1)}{1-q} gilt.
>
> Ich bedanke mich im Voraus für eure Mühe!
Hallo nochmal.
Hier befürchte ich, dass du einiges durcheinander bringst. Es wäre vielleicht (für dich) vorteilhafter, wenn du einmal exakt aufschreibst, was ihr da gemacht habt.
Es kommt mit einiges sehr bekannt vor und es ähnelt einem Beweis für den Grenzwert der geometrischen Reihe, den ich hier vorliegen habe.
Aber ein paar Sachen sind ziemlich ungenau, teilweise auch falsch (wenn du das meinst).
Beispielsweise muss für q dann gelten (für die Konvergenz): |q| < 1.
Denn für |q| [mm] \ge [/mm] 1 konvergiert die geometrische Reihe nicht!
lg, Tobias
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Hallo und danke schonmal!
Ja, wir haben beweisen wollen, dass für [mm] S_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} q^i [/mm] für q ungleich 1 gilt: [mm] \bruch [/mm] {1-q^(n+1)}{1-q} [ich kriege dies einfach nicht in einen vernünftigen Bruch, sry]. Nach langem Rechenweg haben wir dann bewiesen, dass (1-q) [woher kommt das?] * [mm] S_n [/mm] = 1- q^(n+1). Aber was bringt mit das im Bezug auf den Quotienten, den ich beweisen sollte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 28.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Hallo und danke schonmal!
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> Ja, wir haben beweisen wollen, dass für [mm]S_n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} q^i[/mm] für q ungleich 1 gilt: [mm]\bruch[/mm]
> {1-q^(n+1)}{1-q} [ich kriege dies einfach nicht in einen
> vernünftigen Bruch, sry].
Klicke (mit der linken Maustaste) auf den Bruch [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]. Dann öfnet sich ein Fenster/Tab mit dem Code für einen vernünftigen Bruch. 
> Nach langem Rechenweg haben wir
> dann bewiesen, dass (1-q) [woher kommt das?] * [mm]S_n[/mm] = 1-
> q^(n+1). Aber was bringt mit das im Bezug auf den
> Quotienten, den ich beweisen sollte?
[mm] $S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] ist doch das gleiche wie [mm] $(1-q)\cdot S_n [/mm] = [mm] 1-q^{n+1}$, [/mm] da $1-q$ nicht von n abhängt.
Durch ausmultiplizieren erhälst du [mm] $(1-q)\cdot S_n= S_n -q\cdot S_n$ [/mm] und du weißt, dass [mm] $S_n-S_{n+1}=-q^{n+1}$ [/mm] ist (falls du das nicht siehst, schreibe die Summen aus). Jetzt musst du noch einen Zusammhang zwischen [mm] $q\cdot S_n$ [/mm] und [mm] $S_{n+1}$ [/mm] finden (auch hier hilft das ausschreiben der Summen).
Gruß, zetamy
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Okay, danke. Ja, wir haben das als Summen geschrieben, aber dies sah so kompliziert aus, da wollte ich einfach erstmal den Ansatz verstehen. Ich glaube, das hilft mir weiter, danke!
Ich habe in dem Zusammenhang noch 2 Fragen.
Einmal zum Sandwich- oder Einschließungskriterium. Was sagt mir das im Hinblick auf die Bestimmung der Komvergenz von Folgen? Die Definition kenne ich, ich weiß auch konkret nichts damit anzufangen. Habe auc keine Beispielaufgabe dazu. :(
Und: Cauchy-Kriterium. Was will mir dieses sagen und wozu wende ich es an, speziell bei Folgen, aber vor allem bei Reihen.
Ich danke euch für die Geduld!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Einmal zum Sandwich- oder Einschließungskriterium. Was sagt
> mir das im Hinblick auf die Bestimmung der Komvergenz von
> Folgen? Die Definition kenne ich, ich weiß auch konkret
> nichts damit anzufangen. Habe auc keine Beispielaufgabe
> dazu. :(
Das Sandwichkriterium hat scheinbar viele Namen, da musste ich gerade noch mal nachschlagen, was das denn war. ^^
Nun, das S.K. liefert dir a) dass die Folge konvergiert und auch noch b) dass der Grenzwert der Folge identisch ist mit dem Grenzwert der diese Folge einschließenden Folgen.
Das ist auch eigentlich naheliegend, besagt es ja:
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge, seien [mm] (b_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] konvergente Folgen.
Des weiteren soll gelten: [mm] b_n \le a_n \le c_n [/mm] für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] für ein [mm] n_0.
[/mm]
Weiter sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_n [/mm] = d.
Dann ist auch a konvergent mit demselben Grenzwert. Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = d.
> Und: Cauchy-Kriterium. Was will mir dieses sagen und wozu
> wende ich es an, speziell bei Folgen, aber vor allem bei
> Reihen.
Das Cauchy-Kriterium ist praktisch nahezu nutzlos. Man kann es super für theoretische Überlegungen und Beweise benutzen. Aber für konkrete Reihen ist es wirklich sehr unhandlich.
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Danke euch!
Aber das Sandwichkriterium macht mir noch Probleme, nämlich beim Herausfinden, welche Folge denn nun größer ist als die andere?
Und ich müsste ja dann 2 Vergleichsreihen heranziehen, von denen ich Konvergenz und Grenzwert kenne. Oder sehe ich das falsch?
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> Aber das Sandwichkriterium macht mir noch Probleme, nämlich
> beim Herausfinden, welche Folge denn nun größer ist als die
> andere?
Hallo,
dieses Problem werden wir Dir nicht abnehmen können. Ja, der Witz beim Sandwichtheorem ist, daß man die zu betrachtende Folge zwischen zweien, die einem bekannt sind, "einkesselt".
Übungsaufgaben sind ja oftmals so, daß man als eine der begrenzenden Folgen eine konstante nehmen kann.
> Und ich müsste ja dann 2 Vergleichsreihen
Folgen. (Wobei natürlich Reihen auch Folgen sind, Folgen von Partialsummen.)
> heranziehen, von
> denen ich Konvergenz und Grenzwert kenne. Oder sehe ich das
> falsch?
Nein, das sihst Du völlig richtig - und die einkesselnden Folgen müssen sogar noch spezieller sein: ihre Grenzwerte müssen gleich sein, so daß Du dann am Ende erhältst, daß der Grenzwert der Folge in der Mitte genauso sein muß.
Gruß v. Angela
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