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Hallo!
Sorry dass ich heute so mit Fragen nerve aber ich schreibe bald eine Klausur und hätte vorher gerne alle Fragen geklärt :) Und der Matheraum ist nunmal eine super Hilfe :))
Also:
Ich soll die Funktion p(x)= [mm] x^2 [/mm] auf Monotonie untersuchen für [mm] x\inR.
[/mm]
Ich weiß das eine Funktion streng monoton wachsend ist wenn folgendes gilt:
[mm] x1\not=x2 [/mm] ( x1 <x2 ) , --> f(x1) <f(x2)
Und bei monoton wachsend wenn es kleiner gleich ist und bei fallend genau das Gegenteil. Aber ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich das auf eine solche Aufgabe anwenden kann?
B
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
> ich schreibe bald eine Klausur und hätte vorher gerne
> alle Fragen geklärt.
Das ist löblich so! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und der Matheraum ist nunmal eine super Hilfe
DANKE !!
> Ich soll die Funktion p(x)= [mm]x^2[/mm] auf Monotonie untersuchen
> für [mm]x \in R.[/mm]
>
> Ich weiß das eine Funktion streng monoton wachsend ist wenn
> folgendes gilt:
>
> [mm]x1\not=x2[/mm] ( x1 <x2 ) , --> f(x1) <f(x2)
> Und bei monoton wachsend wenn es kleiner gleich ist und
> bei fallend genau das Gegenteil. Aber ich weiß leider
> überhaupt nicht, wie ich das auf eine solche Aufgabe
> anwenden kann?
Na, dann werden wir mal einige Ansätze bieten ...
[mm] $x_2 [/mm] \ > \ [mm] x_1$ $\gdw$ $x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $x_2 [/mm] \ = \ [mm] x_1 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ mit [mm] $\Delta [/mm] x \ > \ 0$
Betrachten wir zunächst den Bereich $0 \ < \ [mm] x_1 [/mm] \ < \ [mm] x_2$ [/mm] :
[mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_2\right) [/mm] \ = \ [mm] x_2^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x_1 + \Delta x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] \underbrace{2*x_1*\Delta x}_{\blue{> \ 0, f"ur \ x_1 \ > \ 0}} [/mm] + [mm] \underbrace{\Delta x^2}_{> \ 0} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] x_1^2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_1\right) [/mm] \ = \ [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion streng monoton steigend für $x \ > \ 0$
Für den Bereich [mm] $x_1 [/mm] \ < \ [mm] x_2 [/mm] \ < \ 0$ geht der Nachweis der Monotonie analog.
Was erhältst Du hier?
Alternativ kann man Monotonie auch über die Steigungsfunktion (= 1. Ableitung) zeigen:
$f(x) \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion streng monoton steigend
$f(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion monoton steigend
"(Streng) monoton fallend" analog für $f(x) \ < \ 0$ bzw. $f(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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oh je, da kann ich im moment gar nicht folgen :( da bin ich sofort wieder blockiert :(
Wo kommt denn urplötzlich das [mm] x2^2 [/mm] her???
Und vielleicht kannst du einmal in Worten erklären was man machen muss um eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen? Das hilft mir meistens mehr als tausen Zahlen !
Das wäre super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Rotespinne!
> oh je, da kann ich im moment gar nicht folgen :( da bin ich
> sofort wieder blockiert :(
> Wo kommt denn urplötzlich das [mm]x2^2[/mm] her???
Ist nicht wirklich wichtig, er setzt das [mm] $x_2$ [/mm] in unsere Funktion
[mm] $p(x)=x^2$ [/mm] ein und wenn er [mm] $x_2$ [/mm] einsetzt steht dort:
[mm] $p(x_2)=x_2^2$
[/mm]
genauso sieht es auch mit normalen Zahlen aus:
[mm] $p(3)=3^2$
[/mm]
> Und vielleicht kannst du einmal in Worten erklären was man
> machen muss um eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen?
> Das hilft mir meistens mehr als tausen Zahlen !
> Das wäre super!
Am einfachsten ist es, wenn du dir das Steigungsverhalten der
Funktion anguckst, sprich ihre erste Ableitung. Denn solange die
Steigung(, also die 1. Ableitung) größer null ist, so steigt die Funktion,
ist sie kleiner so fällt sie.
Willst du also wissen in welchen Intervallen die Funktion $f(x)$ steigt,
so erstellst du die Ungleichung:
$f'(x)>0$
In unserem konkreten Fall sieht es so aus:
[mm] $p(x)=x^2 \to [/mm] p'(x)=2x$
Die folgende Ungleichung:
$2x>0$
Hat als Lösung alle $x$, die größer null sind.
Wir können also schreiben $p(x)$ ist für alle
$x [mm] \in [/mm] ]0; [mm] \infty [/mm] [$ streng monoton steigend.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
![[]](/images/popup.gif) Monotonie
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hallo!
ich versuche die ganze zeit nun für den bereich x1<x2<o die monotonie zu prüfen aber ich tu mich damit so schwer :(
hier ist doch dann auch wieder x2 >x1 , aber x2-x1 <0 stimmt ja dann nicht?
und hier weiß ich schon nicht weiter.
ich fänd es nett wenn es mir auch mal jemand für diesen fall vorführem könnte, damit ich ein beispiel habe. vielen dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo rotespinne!
> ich versuche die ganze zeit nun für den bereich x1<x2<o die
> monotonie zu prüfen aber ich tu mich damit so schwer :(
> hier ist doch dann auch wieder x2 >x1 , aber x2-x1 <0
> stimmt ja dann nicht?
Nein, aber [mm] $\Delta x:=x_1-x_2<0$. [/mm] Man kann den Beweis von Loddar (Thorsten) praktisch komplett übernehmen und muss ihn nur an wenigen Stellen verändern. Er läuft dann so:
[mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_1\right) [/mm] \ = \ [mm] x_1^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x_2 + \Delta x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] \underbrace{2*x_2*\Delta x}_{\blue{> \ 0, f"ur \ x_2 \ < \ 0}} [/mm] + [mm] \underbrace{\Delta x^2}_{> \ 0} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] x_2^2 [/mm] \ = \ [mm] p\left(x_2\right) [/mm] \ = \ [mm] y_2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Funktion streng monoton fallend für $x \ < \ 0$
Viele Grüße
Stefan
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nun habe ich die Funktion :
[mm] p(x)=x^2 [/mm] , x [mm] \in R^{+}
[/mm]
Hier ist ja dann nun [mm] x_{1}, x_{2} \in R^{+}, x_{1} \not=x_{2}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] x
Und dann das selbe Spiel wieder von vorne, oder?
Aber : Die Funktion kann doch nur monoton oder streng monoton wachsend sein, da es sich doch um Zahlen aus [mm] R^{2+} [/mm] handelt und es niemals zu < oder [mm] \le [/mm] kommen kann, oder doch????
DANKE :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Aufgabe haben wir doch bereits gelöst! ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wir haben doch bereits gezeigt, dass die Funktion [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^+$ [/mm] streng monoton wachsend ist (das hat Loddar gezeigt) und dass die Funktion [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^-$ [/mm] streng monoton fallend ist (das habe ich gezeigt). Dazu folgte, dass [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] weder monoton steigend noch monoton fallend ist. Aber [mm] $p(x)=x^2$, [/mm] ist halt, wie gesagt, wenn man es auf [mm] $\IR^+$ [/mm] einschränkt, schon streng monoton steigend, schau dir den Beweis von Loddar bitte noch einmal an; das ist die Lösung zu dieser Aufgabe hier.
Für den ersten Teil der Frage, ob [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] monoton ist, hätte es einfach genügt zu sagen: Nein, denn $-2<1$, $p(-2)=4>1=p(1)$ (d.h. $p$ ist nicht monoton wachsend) und $0<1$, $p(0)=0<1=p(1)$ (d.h. $p$ ist auch nicht monoton fallend). Vielleicht hat es dich ja verwirrt, dass Loddar dort bereits die Lösung zu dieser Aufgabe hier gegeben hat und nicht einfach nur ein Gegenbeispiel.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 20.06.2005 | | Autor: | rotespinne |
Hallo!
Genau das hat mich verwirrt :( Aber nun gut, ich habe es für [mm] R^{+} [/mm] und [mm] R^{-} [/mm] nun nochmal selbst versucht :) Das schadet ja auch nichts!c Aber danke :)
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