Monotonie, Streng Monoton < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
gerade eben bin ich auf die obrige Aufgabe gestoßen und ich weiß nicht mehr wie ich auf Monotonie prüfe. War das mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert, dass sie gleich sein müssen?
Wie kann ich die Aufgabe lösen (ob die Funktion Monoton ist). Den Grenzwert versuche ich im Anschluss selbst zu bestimmen.
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 29.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Bestimme Dir die Ableitung der o.g. Funktion. Denn mit der Ableitung lässt sich die Monotonie bestimmen:
$f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $f [mm] \text{ ist monoton steigend}$
[/mm]
$f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $f [mm] \text{ ist monoton fallend}$
[/mm]
Für die Grenzwertbestimmung kannst Du z.B. auch  de l'Hospital (zumindest für [mm] $x\rightarrow\infty$) [/mm] anwenden.
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
danke für die Antwort!
Das hatte ich auch schonmal und das ist auch nicht so schwer :) Ich werde die heute noch rechnen bzw. später.
Mal zwei Frage die mir in dem Zusammenhang gekommen sind.
Setze ich einmal 0 und einmal unendlich in x in die 1.te Ableitung ein um zu prüfen ob [mm] \le [/mm] 0 oder [mm] \ge [/mm] 0 ? Du schreibst jeweils größer gleich und kleiner gleich. Was ist wenn genau 0 heraus kommt? Ist sie dann Monoton Steigend oder Fallend? Eigentlich ist sie dann doch Konstant wie z. B. y=2 oder?
Zu einer Funktion existiert doch nur eine Umkehrfunktion wenn die 1.te Ableitung der Funktion Streng Monoton steigend oder fallend ist. Stimmt das?
Danke
Grüße Thomas
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> Mal zwei Frage die mir in dem Zusammenhang gekommen sind.
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> Setze ich einmal 0 und einmal unendlich in x in die 1.te
> Ableitung ein um zu prüfen ob [mm]\le[/mm] 0 oder [mm]\ge[/mm] 0 ?
Nein: Du kannst nicht einfach konkrete Werte einsetzen. Die Bedingung für das Vorzeichen der Ableitung muss für alle $x$ des Bereiches gelten, für den Du die entsprechende Monotonie der Funktion behauptest / beweisen willst.
> Du
> schreibst jeweils größer gleich und kleiner gleich. Was ist
> wenn genau 0 heraus kommt?
Wenn die Ableitung an einer Stelle $0$ wird, ist dies für strenge Monotonie in der Tat problematisch. Wenn die Ableitung stets $>0$ bzw. stets $<0$ ist, können wir sicher sein, dass strenge Monotonie vorliegt. Die Ableitung darf auch in isolierten Stellen gleich $0$ werden: nicht aber in einem ganzen Teilintervall. Sonst würde nur noch (schwache) Monotonie vorliegen.
> Ist sie dann Monoton Steigend
> oder Fallend? Eigentlich ist sie dann doch Konstant wie z.
> B. y=2 oder?
>
> Zu einer Funktion existiert doch nur eine Umkehrfunktion
> wenn die 1.te Ableitung der Funktion Streng Monoton
> steigend oder fallend ist. Stimmt das?
Nein. Betrachte etwa $f(x) := [mm] x^3$ [/mm] Die Ableitung dieser Funktion ist [mm] $f'(x)=3x^2$ [/mm] Wegen [mm] $f'(x)\geq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] und weil $f'(x)=0$ nur an der isolierten Stelle $x=0$ gilt, ist $f(x)$ streng monoton wachsend. Aber die Ableitung ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Genauer. Die Ableitung [mm] $f'(x)=3x^2$ [/mm] von $f$ ist für [mm] $x\leq [/mm] 0$ streng monoton fallend und für [mm] $x\geq [/mm] 0$ strent monoton wachsend.
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hi,
also: $\limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(x)}{x}$ das ganze ist Null / Null. Deshalb leite ich oben und unten ab.
Heraus kommt $\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x}$ Also kommt als Ergebnis unendlich heraus
$\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{ln(x)}{x}$ das ganze ist unendlich durch unendlich, also ebenfalls ableiten:
$\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x}=0$ Dies ist eine Nullfolge.
Jetzt prüfe ich noch die Monotonie, dazu leite ich ab:
$f(x)=\bruch{ln(x)}{x}=ln(x)*\bruch{1}{x}$
$f'(x)=\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x}+ln(x)*(-x^{-2}})$
$f'(x)=\bruch{1}{x^2}-\bruch{ln(x)}{x^2}}$
$f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}}$
Ab hier weiß ich leider nicht was ich jetzt einsetzen soll oder machen soll.
Danke
Grüße Thomas
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi,
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> also: [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(x)}{x}[/mm] das ganze ist
> Null / Null. Deshalb leite ich oben und unten ab.
>
> Heraus kommt [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x}[/mm] Also kommt
> als Ergebnis unendlich heraus
Die Frage ist allerdings ob "unendlich" gleich [mm] $+\infty$ [/mm] oder gleich [mm] $-\infty$ [/mm] ist: es ist [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\ln(x)}{x}=\red{-}\infty$.
[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{ln(x)}{x}[/mm] das ganze ist
> unendlich durch unendlich, also ebenfalls ableiten:
>
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x}=0[/mm] Dies ist eine
> Nullfolge.
Ich verstehe was Du meinst, aber Nullfolge ist wohl nicht exakt der richtige Ausdruck. Jedenfalls hast Du gezeigt: [mm] $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$.
[/mm]
>
> Jetzt prüfe ich noch die Monotonie, dazu leite ich ab:
>
> [mm]f(x)=\bruch{ln(x)}{x}=ln(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x}+ln(x)*(-x^{-2}})[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x^2}-\bruch{ln(x)}{x^2}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}}[/mm]
>
> Ab hier weiß ich leider nicht was ich jetzt einsetzen soll
> oder machen soll.
Du musst nun das Vorzeichen von [mm] $f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$ [/mm] diskutieren. Da der Nenner [mm] $x^2$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ stets positiv ist, ist das Vorzeichen von $f'$ durch das Vorzeichen des Zählers [mm] $1-\ln(x)$ [/mm] bestimmt:
[mm]f'(x) \stackrel{>}{<} 0 \Leftrightarrow 1-\ln(x) \stackrel{>}{<} 0 \Leftrightarrow 1 \stackrel{>}{<} \ln(x) \Leftrightarrow \mathrm{e} \stackrel{>}{<} x[/mm]
Also ist $f'(x)>0$ für [mm] $x\in]0;\mathrm{e}[$ [/mm] und $f'(x)<0$ für [mm] $x\in ]\mathrm{e};+\infty[$. [/mm] Somit ist $f$ streng monoton wachsend für [mm] $x\in ]0;\mathrm{e}]$ [/mm] und streng monoton fallend für [mm] $x\in [\mathrm{e};+\infty[$.
[/mm]
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