Monotonie, Beschränktheit, ... < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie das Bildungsgesetz und geben Sie Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz an. |
Bildungsgesetz habe ich bereits ermittelt:
[mm] a_{n}=(-\bruch{2}{3})^n
[/mm]
Die Reihe/Folge ist nicht monoton, da ein ständiger Vorzeichenwechsel stattfindet. Muss ich das weiter mit einer Rechnung begründen?
Was mache ich mit der Konvergenz und Beschränktheit? Eigentlich ist sie, auf den ersten Blick, nach oben durch 1 beschränkt, oder nicht? Wie berechne ich die Beschränktheit nach unten und oben?
Zur Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-\bruch{2}{3})^n
[/mm]
Dabei geht der Grenzwert gegen 0, oder? Eine Zahl < 1 sollte bei einer sehr hohen Potenz gegen 0 gehen. Kann ich das noch anderweitig beweisen? Demnach wäre ja auch eine Beschränktheit bei 0, obwohl die Reihe durchaus Werte kleiner und größer 1 zurückgibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie das Bildungsgesetz und geben Sie Monotonie,
> Beschränktheit und Konvergenz an.
> Bildungsgesetz habe ich bereits ermittelt:
>
> [mm]a_{n}=(-\bruch{2}{3})^n[/mm]
>
> Die Reihe/Folge ist nicht monoton, da ein ständiger
> Vorzeichenwechsel stattfindet. Muss ich das weiter mit
> einer Rechnung begründen?
In meinen Augen nicht.
>
> Was mache ich mit der Konvergenz und Beschränktheit?
> Eigentlich ist sie, auf den ersten Blick, nach oben durch 1
> beschränkt, oder nicht? Wie berechne ich die
> Beschränktheit nach unten und oben?
>
> Zur Konvergenz:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-\bruch{2}{3})^n[/mm]
>
> Dabei geht der Grenzwert gegen 0, oder?
Der Grenzwert ist =0.
> Eine Zahl < 1
> sollte bei einer sehr hohen Potenz gegen 0 gehen.
Eine Zahl mit Betrag < 1 !!
> Kann ich
> das noch anderweitig beweisen?
Sei 0<q<1 und sei a:=1/q>1. Somit gibt es ein x>0 mit a=1+x.
Aus der Bernoullischen Ungl. bekommen wir [mm] a^n \ge [/mm] 1+nx. Es folgt
[mm] 0
Jetzt solltest Du sehen, dass [mm] (q^n) [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
> Demnach wäre ja auch eine
> Beschränktheit bei 0, obwohl die Reihe durchaus Werte
> kleiner und größer 1 zurückgibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Wie siehts mit der Beschränktheit bei dieser Aufgabe aus? Und allgemein, wie berechne ich bei anderen Aufgaben die Beschränktheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wie siehts mit der Beschränktheit bei dieser Aufgabe aus?
[mm] |a_n| =(\bruch{2}{3})^n \le 1^n=1 [/mm] für alle n.
> Und allgemein, wie berechne ich bei anderen Aufgaben die
> Beschränktheit?
Dafür gibts kein Kochrezept.
FRED
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