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| Aufgabe | | Ist eine monotone Funktion [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] surjektiv? |
Ich würd sagen nein, aber mir fällt kein Gegenbeispiel ein.
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Hallo,
> Ist eine monotone Funktion [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm]
> surjektiv?
> Ich würd sagen nein, aber mir fällt kein Gegenbeispiel
> ein.
Hm, mit Gegenbeispielen hantiert man ja eigentlich dann, wenn man einen Widerspruch herbeiführen möchte, das macht ja hier keinen Sinn, so wie du die Frage formuliert hast (da deine Vermutung ja richtig ist).
Wenn wir annehmen, alle monotonen Funktionen [mm] \IR\to\IR [/mm] wären surjektiv, dann wäre bspw. folgendes ein
Gegenbeispiel:
f: [mm] \IR\to\IR [/mm] mit f: [mm] x\mapsto [/mm] arctan(x)
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist eine monotone Funktion [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm]
> surjektiv?
steht da nur monoton oder streng monoton? In beiden Fällen kannst Du
natürlich etwa Diophants Beispiel nehmen (man kann auch was anderes
nehmen, etwa [mm] $f(x):=\begin{cases}x+1, & \text{ für }x \le 0 \\ \left(1+\tfrac{1}{x}\right)^x, &\text{ für }x > 0\end{cases};$ [/mm] man müßte aber beweisen, dass diese
Funktion streng wächst und könnte dann beweisen, dass sie nach oben beschränkt ist!)
Wenn es aber nicht um "strenge Monotonie", sondern wirklich nur um
Monotonie geht, so geht das Ganze viel einfacher:
Betrachte irgendeine konstante Funktion, der Einfachheit halber etwa die
Nullfunktion [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0 [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
P.S. Kleine Ergänzung: Wenn jemand gar keine Idee hat, wie er für solch'
eine Frage eine Antwort findet: Im Prinzip suggeriert der "Hauptsatz über
monotone Folgen" eigentlich eine "passende" Antwort...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Noch eine "gebastelte"Funktion:
[mm] $f(x):=\begin{cases}2-\tfrac{1}{x-\frac{1}{2}}, & \text{ für }x \ge 1 \\ x-2, &\text{ für }x < 1\end{cases}$
[/mm]
(diese ist unstetig!)
Man kann sowieso 'sehr viele "unstetige, monotone Funktionen"' [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] angeben,
die nicht surjektiv sind.
(Man kann "Geraden zerschneiden und ein abgeschnittes Stück in die
passende Richtung parallel verschieben" (bzgl. des Graphen einer solchen
Funktion ist das gemeint); oder man nimmt die Gaußklammer oder oder
oder...)
Dass zusätzliche Stetigkeit auch nicht ausreicht, dafür hast Du nun schon
zwei Beispiele gesehen und könntest diesbezüglich auch die obige Fkt.
einfach abwandeln.
Gruß,
Marcel
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