Monotonie < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \wurzel{x+1}-\wurzel{x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
muss für die Konvergenz einer Reihe zeigen, dass oben genannte Folge eine monoton fallende Nullfolge ist, damit ich das Leibniz-Kriterium anwenden kann. Ich kann problemlos beweisen, dass es eine Nullfolge ist aber bei der Monotonie komme ich nicht weiter.
Meine beiden Ansätze:
1. [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] < 0
Dann komme ich auf die Form [mm] \wurzel{n+2} [/mm] - [mm] 2\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] < 0
2. [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < 1
Dann komme ich auf die Form [mm] \bruch{\wurzel{n+2} - \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}} [/mm]
Komme bei beiden aber nicht weiter und habe es auch schon über eine Vollständige Induktion versucht.
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Halo Marcel,
> [mm]\wurzel{x+1}-\wurzel{x}[/mm]
hmmm, nicht eher [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ [/mm] ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> muss für die Konvergenz einer Reihe zeigen, dass oben
> genannte Folge eine monoton fallende Nullfolge ist, damit
> ich das Leibniz-Kriterium anwenden kann. Ich kann
> problemlos beweisen, dass es eine Nullfolge ist aber bei
> der Monotonie komme ich nicht weiter.
>
> Meine beiden Ansätze:
> 1. [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] < 0
> Dann komme ich auf die Form [mm]\wurzel{n+2}[/mm] - [mm]2\wurzel{n+1}[/mm] +
> [mm]\wurzel{n}[/mm] < 0
>
> 2. [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] < 1
> Dann komme ich auf die Form [mm]\bruch{\wurzel{n+2} - \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}[/mm]
>
> Komme bei beiden aber nicht weiter und habe es auch schon
> über eine Vollständige Induktion versucht.
Ich würde den ersten Ansatz bevorzugen 
äquivalent ist zz.: [mm] $a_n-a_{n+1} [/mm] \ > \ 0$
also [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1} [/mm] \ > \ 0$
[mm] $\Rightarrow 2\sqrt{n+1} [/mm] \ > \ [mm] \sqrt{n}+\sqrt{n+2}$
[/mm]
quadrieren, da alles >0
[mm] $\Rightarrow [/mm] 4n+4 \ > [mm] n+(n+2)+2\sqrt{n}\sqrt{n+2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] n+1 \ > [mm] \sqrt{n}\sqrt{n+2}$
[/mm]
nochmal quadrieren und du hast es ...
LG
schachuzipus
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Dankeschön. Hat wunderbar geklappt. :)
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Habe heute die Aufgaben zurückbekommen und füge an, dass man den Lösungsweg leider nicht nehmen kann, da durch das Quadrieren keine Äquivalenz mehr gegeben ist.
Hier der Lösungsweg mit Äquivalenz:
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] > [mm] \wurzel{n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(\wurzel{n+1} - \wurzel{n})(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] > [mm] \bruch{(\wurzel{n+2} - \wurzel{n+1})(\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1})}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n+1 - n}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] > [mm] \bruch{n+2 -(n+1)}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \wurzel{n+2} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{n} [/mm] < [mm] \wurzel{n+2} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo toxic!
> [mm]\gdw \wurzel{n}[/mm] < [mm]\wurzel{n+2}[/mm]
Und wie wurd nun der Wahrheitsgehalt dieser Ungleichung gezeigt? Doch nicht etwas durch Quadrieren ...
Es stimmt: im Allgemeinen ist das Quadrieren einer (Un-)Gleichung keine Äquivalenzumformung.
schachuzipus hat jedoch zu Recht darauf hingewiesen, dass im Falle seiner Quadratur (also seiner Ungleichung ), ausschließlich positive Terme vorhanden sind. Damit sollte das Quadrieren problemlos sein.
Gruß
Loddar
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