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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Sei eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\bruch{3n+1}{n+3} [/mm] gegeben.
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten |
Hallo Leute, ich versuche die Monotonie zu bestimmen.
Ich habe mich für folgendes Kriterium entschieden:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{3(n+1)+1}{(n+1)+3}}{\bruch{3n+1}{n+3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3n+4)*(n+3)}{(n+4)*(3n+1)}. [/mm] Ich bräuchte nun Hilfe, wie ich weiter machen müsste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Shee-La |
meinst du vielleicht [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
Ist dein n [mm] \in \IN [/mm] ? dann könntest du versuchen zu zeigen, dass
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N. Das würde dir auch die strenge monotonie zeigen.
Gruß Shee-La
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, ja ich meine eigentlich [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}. [/mm] Ja, die andere Möglichkeit wäre [mm] a_{n+1}-a_{n}, [/mm] das brachte mich jedoch auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Shee-La |
> s.oben
> Hallo, ja ich meine eigentlich [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}.[/mm]
> Ja, die andere Möglichkeit wäre [mm]a_{n+1}-a_{n},[/mm] das brachte
> mich jedoch auch nicht weiter.
aber wenn du [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] betrachtest, dann ist das ja
[mm] \bruch{3(n+1)+1}{(n+1)+3} [/mm] > [mm] \bruch{3n+1}{n+3}
[/mm]
also
[mm] \bruch{3n+4}{n+4} [/mm] > [mm] \bruch{3n+1}{n+3}
[/mm]
(3n-4) (n+4) > (3n+1) (n+4)
[mm] 3n^{2}+13n+12 [/mm] > [mm] 3n^{2}+13n+4
[/mm]
12 > 4
so und [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] ist ja das selbe wie [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] >0
Gruß Shee-La
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Noplan |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Owen |
Oh, ja stimmt. Danke für den Hinweis. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Noplan |
ich glaube nicht, dass dieses kriterium funktioniert, da bei dir zähler und nenner gleich sind, und somit den zahlenwert 1 ergeben.
berechnest du aber die differenz [mm] a_{n+1}-a_n =\bruch{n+8}{n^2+13n+12}>0 [/mm] für n kleiner unendlich also müsste sie streng monoton steigen.
oder
du berechnest mit der Quotientenregel die Ableitung
[mm] f'(n)=\bruch{2} {(n+1)^2}>0 [/mm] für n kleiner unendlich also müsste sie streng monoton steigen.
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