matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenMonotonie
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Funktionen" - Monotonie
Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Monotonie: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Sa 09.02.2008
Autor: chipbit

Aufgabe
Untersuche die Funktion [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] mit f(0)=0 und f(x)=x[2-sin(logx)-cos(logx)], [mm] (0

Hey Leute,
ich habe mal eine Frage. Ich habe mir in diversen Büchern und auch im Internet das Thema Monotonie angeschaut. So richtig geholfen hat mir davon bisher aber nichts, weil da keine Beispiele dabei waren. Kann mir vielleicht jemand erklären wie man da am Besten vorgeht wenn man eine Funktion auf Monotonie prüfen soll?
Die gestellte Aufgabe will ich versuchen zu lösen, bisher hat mir aber nichts soweit geholfen das ich die angehen konnte.
Dazu sei gesagt, dass ich in Mathe eine ziemliche Niete bin, wie ich leider immer wieder mit Erschrecken feststellen muss.
Grüße
chip

        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Sa 09.02.2008
Autor: steppenhahn

Monotonie bestimmen heißt, zu bestimmen in welchen Intervallen die Funktion "steigt" oder "fällt".
Dies prüft man folgendermaßen:

Möglichkeit 1:

Ist eine Funktion in einem Intervall monoton steigend, so gilt in diesem Intervall:
[mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm]   =>   [mm] f(x_{1}) \le f(x_{2}) \gdw f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) \le [/mm] 0
(Logisch: Ist das Argument weiter "links", dann ist der Funktionswert weiter "unten")

Ist eine Funktion in einem Intervall monoton fallend, so gilt in diesem Intervall:
[mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm]   =>   [mm] f(x_{1}) \ge f(x_{2}) \gdw f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) \ge [/mm] 0
(Logisch: Ist das Argument weiter "links", dann ist der Funktionswert weiter "oben")

Strenge Monotonie heißt im Vergleich zur "einfachen" Monotonie, dass die Funktion auf jeden Fall steigt; bei "einfacher" Monotonie kann in dem Intervall auch ein konstanter Wert vorliegen.

BSP:
[mm] x^{2} [/mm] ist im Intervall ( [mm] 0,\infty [/mm] ) streng monoton steigend.
Nachweis:
Sei [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}. [/mm]
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] x_{1}^{2} [/mm] < [mm] x_{2}^{2} [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] für [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] ( [mm] 0,\infty [/mm] ).

Möglichkeit 2:

Ist f'(x) > 0 in einem bestimmten Intervall, dann ist die Funktion f(x) dort streng monoton steigend.
Ist f'(x) < 0 in einem bestimmten Intervall, dann ist die Funktion f(x) dort streng monoton fallend.

Bsp:

f(x) = [mm] x^{2} [/mm]

f'(x) = 2x

f'(x) > 0 für x [mm] \in [/mm] ( [mm] 0,\infty [/mm] )  ==> f(x) streng monoton steigend auf ( [mm] 0,\infty [/mm] ).
f'(x) < 0 für x [mm] \in (\infty,0) [/mm]  ==> f(x) streng monoton fallend auf [mm] (\infty,0). [/mm]

Bezug
                
Bezug
Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 So 10.02.2008
Autor: chipbit

Zu meiner Aufgabe von oben. Ich denke, dass es sich um eine streng monoton wachsende Funktion handelt und im Intervall zwischen 0 und 1 wird die ableitung von f(x) nicht null. Stimmt das? Ich habe die Ableitung gemacht und dann einfach Werte zwischen 0 und 1 eingesetzt. Kann man das noch anders zeigen?
Bei der Monotonie muss ich zugeben, dass mir die Kriterien ja durchaus klar erscheinen. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich das aufschreiben kann. Ich habe ja ein Intervall von [0,1] vorgegeben und das f(0)=0 ist. Nehme ich dann für [mm] x_1,x_2 [/mm] einfach 0 und 1? Dann einfach für [mm] x_2=1 [/mm] ausrechnen und in die Ungleichung schreiben? Und dann einfach die Ableitung nehmen und gucken ob die <0 oder >0 ist, um auf die strenge Monotonie zu schliessen?
Ich weiß, ich stell mich wahrscheinlich grad ziemlich dämlich an, aber ich bin mir immer so unsicher...

Bezug
                        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 So 10.02.2008
Autor: steppenhahn

Zunächst die Funktion ableiten:

f(x) = x*(2-sin(ln(x))-cos(ln(x)))

(Produktregel:)

f'(x) = 1*(2-sin(ln(x))-cos(ln(x))) + [mm] x*(-\bruch{cos(ln(x))}{x}+\bruch{sin(ln(x))}{x}) [/mm]

    = 2-sin(ln(x))-cos(ln(x)) - cos(ln(x))+ sin(ln(x))

    = 2 - 2*cos(ln(x)).

Du musst nun zeigen, dass diese Funktion im Intervall [0,1] garantiert immer größergleich 0 ist (Weil wenn die Ableitung einer Funktion größer als 0 ist, die Funktion stets monoton steigt)! Dazu musst du zeigen:

2 - 2*cos(ln(x)) [mm] \ge [/mm] 0

2 [mm] \ge [/mm] 2*cos(ln(x))

1 [mm] \ge [/mm] cos(ln(x)).

Und wie man sehen kann, ist dies immer erfüllt (Der Cosinus kann nicht größer aks 1 werden), und somit erst recht im Intervall [0,1]. Monotonie bewiesen.

Zum zweiten Teil, wann f'(x) = 0:

2 - 2*cos(ln(x)) = 0

2 = 2*cos(ln(x))

1 = cos(ln(x))

[mm] cos^{-1}(1) [/mm] = ln(x)

(Wann wird der Cosinus 1? Bei [mm] 2*k*\pi [/mm]   (k [mm] \in [/mm] Z))

[mm] 2*k*\pi [/mm] = ln(x)

[mm] e^{2*k*\pi} [/mm] = x

Versuch dich reinzufinden und hab keine Scheu, nachzufragen :-)

Bezug
                                
Bezug
Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 Mo 11.02.2008
Autor: chipbit

Mh, okay. Einleuchtend.
Die Frage war aber nicht wann wird f'(x)=0 sondern wie oft. Oder ist das der gleiche Weg und man muss das eben durchprobieren? Naja, im Grunde sagt ja wann dann auch letztlich wie oft aus. mmmhh...

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Mo 11.02.2008
Autor: leduart

Hallo
Ja wie oft und wo sind fast dieselbe Frage, du musst ja nur das kleine Intervall nachsehen.
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:10 Mo 11.02.2008
Autor: steppenhahn

Du siehst ja oben die Lösungen für x:

x = [mm] e^{2*k*\pi} [/mm] , [mm] k \in \IZ [/mm]

Naja, und k kann man von 0 bis [mm] -\infty [/mm] wählen, sodass das x [mm] \in [/mm] [0,1] liegt. (Wegen [mm] e^{...}, [/mm] das immer größer 0 ist)
Wieviele Lösungen wird es also geben?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]