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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 24.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Hallo zusammen,
ist die Funktion [mm] h(x)=e^{2*x}-x-1 [/mm] streng monoton?
Gruß
Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 24.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo bennoman,
> Hallo zusammen,
> ist die Funktion [mm]h(x)=e^{2*x}-x-1[/mm] streng monoton?
Kurze Frage, kurze Antwort: $h$ ist weder streng monoton
wachsend noch streng monoton fallend auf [mm] \IR. [/mm] Dazu betrachte
zum Beispiel die Ableitung
[mm] h'(x)=2e^{2x}-1
[/mm]
oder du betrachtest folgende Eigenschaft:
[mm] $h(-1)=e^{-2}-(-1)-1=e^{-2}>0$
[/mm]
$h(0)=0$
[mm] $h(1)=e^2-1-1=e^2-2>0$.
[/mm]
Wenn du dir nun die Punkte dazu zeichnest, sollte dir klar
werden, dass $h$ weder streng monoton steigend noch streng
monoton fallend sein kann.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 24.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Ich habe noch eine weitere Frage:
Für einen Punkt P(u/f(u)) ist die Ursprungsgerade ganau orthogonal zur Tangente in P an Graphen f, wenn [mm] e^{2*u}-u-1=0 [/mm] ist.
Nun soll ich beweisen, dass es genau 2 Punkte auf f gibt, welche die Orthogonalitätsbedingung erfüllen.
Ich brauche dabei auch dringend Hilfe.
Ich kann nur nachweisen, dass die Gleichung für den Punkt (0/1) erfüllt ist, ich muss jedoch nachweisen, dass es noch genau einen weiteren Punkt gibt, für den das gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mo 24.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ich habe noch eine weitere Frage:
> Für einen Punkt P(u/f(u)) ist die Ursprungsgerade ganau
> orthogonal zur Tangente in P an Graphen f, wenn
> [mm]e^{2*u}-u-1=0[/mm] ist.
> Nun soll ich beweisen, dass es genau 2 Punkte auf f gibt,
> welche die Orthogonalitätsbedingung erfüllen.
> Ich brauche dabei auch dringend Hilfe.
> Ich kann nur nachweisen, dass die Gleichung für den Punkt
> (0/1) erfüllt ist, ich muss jedoch nachweisen, dass es
> noch genau einen weiteren Punkt gibt, für den das gilt.
Du suchst die Nullstellen der Funktion
[mm] $f(u):=e^{2*u}-u-1=0$.
[/mm]
Die erste Nullstelle hast du bereits richtig erkannt. In der
Tat existiert noch eine Nullstelle. Diese ist analytisch nur
durch die Lambertsche W-Funktion zu bestimmen. Du sollst die
zweite Nullstelle aber zum Glück nicht bestimmen, sondern
nur zeigen, dass diese existiert.
Die Funktion $f$ ist stetig und es gilt:
[mm] f(-1)=e^{-2}-(-1)-1=e^{-2}>0,
[/mm]
[mm] f(-\frac{1}{2})=e^{-1}-(-\frac{1}{2})-1=e^{-1}-\frac{1}{2}<0.
[/mm]
Jetzt zeichne dir die Punkte auf. Jetzt erklären mir, weshalb
wir mindestens noch eine Nullstelle gefunden haben.
Außerdem kannst du auch schon sagen wo diese liegt. Wie
kannst du nun zeigen, dass es keine weiteren gibt?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mo 24.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Danke für die schnelle Hilfe.
Ich schreibe dir morgen, wie ich weitervorgehen würde.
Danke nochmal
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