Monotonie- und Krümmungsver. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 04.02.2006 | | Autor: | thomasXS |
folgende Funktion ist gegeben:
fa(x) = [mm] -4x^3+ax^2
[/mm]
Ableitungen:
fa'(x) = [mm] -12x^2+2ax
[/mm]
fa''(x) = -24x + 2a
fa'''(x)= -24
Extrema für a < 0
T( [mm] \bruch{1}{6}a; \bruch{a^3}{108} [/mm] )
H(0;0)
Monotonieverhalten für a < 0
Gfa streng monoton fallend für ]- [mm] \infty [/mm] , [mm] \bruch{1}{6}a [/mm] ] bzw. [0; [mm] +\infty [/mm] [
Gfa streng monoton steigend für [ [mm] \bruch{1}{6}a [/mm] ; 0 ]
Krümmungsverhalten für a < 0
-24x - 2a < 0
x > [mm] \bruch{a}{12}
[/mm]
Gfa rechtsgekrümmt für x >= [mm] \bruch{9}{12}
[/mm]
Gfa linksgekrümmt für x <= [mm] \bruch{9}{12}
[/mm]
->Diese Aufgabe kommt aus meinem Heft und die Ergebnisse sind richtig.
Frage:
1.) Wie kann ich das Monotonieverhalten bestimmen? In der Formelsammlung habe ich z.b. f'(x) > 0 => Gfa steigt ; f'(x) < 0 => Gfa fällt
Muss ich a < 0 setzen und mir dann überlegen, ob der Wert, der sich daraus ergibt entweder kleiner oder größer 0 ist? Muss ich hier auch ungefähr wissen, wie der Graph verläuft?
2.) Krümmungsverhalten
Ich kann in der Formelsammlung auch wieder die Kriterien finden. Muss ich hier auch wieder einen negativen ( a < 0) einsetzen und mir dann üeberlegen, ob f'' < oder > 0 ist?
Wie komme ich auf den Wert [mm] \bruch{9}{12} [/mm] ?
Danke für die Hilfe!
mfg
Thomas
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Hi, Thomas,
> folgende Funktion ist gegeben:
> fa(x) = [mm]-4x^3+ax^2[/mm]
>
> Ableitungen:
> fa'(x) = [mm]-12x^2+2ax[/mm]
> fa''(x) = -24x + 2a
> fa'''(x)= -24
>
> Extrema für a < 0
> T( [mm]\bruch{1}{6}a; \bruch{a^3}{108}[/mm] )
> H(0;0)
>
> Monotonieverhalten für a < 0
>
> Gfa streng monoton fallend für ]- [mm]\infty[/mm] , [mm]\bruch{1}{6}a[/mm] ]
> bzw. [0; [mm]+\infty[/mm] [
>
> Gfa streng monoton steigend für [ [mm]\bruch{1}{6}a[/mm] ; 0 ]
>
> Krümmungsverhalten für a < 0
>
> -24x - 2a < 0
>
> x > [mm]\bruch{a}{12}[/mm]
>
> Gfa rechtsgekrümmt für x >= [mm]\bruch{9}{12}[/mm]
>
> Gfa linksgekrümmt für x <= [mm]\bruch{9}{12}[/mm]
> ->Diese Aufgabe kommt aus meinem Heft und die Ergebnisse
> sind richtig.
Nicht ganz, denn bei den Krümmungsintervallen hast Du falsch abgeschrieben!
Richtig müsste es z.B.
Gfa rechtsgekrümmt für x [mm] \ge[/mm] [mm]\bruch{a}{12}[/mm] heißen.
(Noch besser sogar: Rechtsgekrümmt im Intervall [mm] [\bruch{a}{12} [/mm] ; + [mm] \infty [/mm] [.
Zwischenfrage: War bei der Aufgabenstellung a < 0 vorgegeben?
Wenn nicht, müssen die Fälle a=0 und a > 0 noch behandelt werden!!!
> Frage:
>
> 1.) Wie kann ich das Monotonieverhalten bestimmen? In der
> Formelsammlung habe ich z.b. f'(x) > 0 => Gfa steigt ;
> f'(x) < 0 => Gfa fällt
Das ist lediglich eine Rechenmethode, nicht die Definition. Daher nimmt man nach der Berechnung der Ungleichung die jeweiligen (endlichen) Ränder zu den Monotonie-Intervallen hinzu.
> Muss ich a < 0 setzen und mir dann überlegen, ob der Wert,
> der sich daraus ergibt entweder kleiner oder größer 0 ist?
Das mit dem a<0 war entweder vorgegeben (siehe meine obige "Zwischenfrage") oder aber der Parameter führt auf eine Fallunterscheidung hinaus. (Z.B. würde bei Deiner Aufgabenstellung für a=0 gar kein Extrempunkt existieren, der Graph wäre auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton fallend; für a > 0 läge der Tiefpunkt bei (0 | 0) und der Hochpunkt wäre [mm] H(\bruch{1}{6}a; \bruch{a^3}{108}). [/mm] Du siehst, wie wichtig es ist, DEN GESAMTEN AUFGABENTEXT einzugeben; sonst kann man nur rumraten!)
> Muss ich hier auch ungefähr wissen, wie der Graph
> verläuft?
Das wär' zumindest nicht schlecht. Aber für die Lösung der Aufgabe darfst Du's natürlich nicht verwenden.
>
> 2.) Krümmungsverhalten
> Ich kann in der Formelsammlung auch wieder die Kriterien
> finden. Muss ich hier auch wieder einen negativen ( a < 0)
> einsetzen und mir dann üeberlegen, ob f'' < oder > 0 ist?
Siehe Vorbemerkung!
> Wie komme ich auf den Wert [mm]\bruch{9}{12}[/mm] ?
Den hast Du falsch abgeschrieben! (siehe oben!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 04.02.2006 | | Autor: | thomasXS |
In der Aufgabenstellung war a < 0 angegeben.
Also dann habe ich das Krümmungsverhalten verstanden.
Nur zum Monotonieverhalten: Angenommen ich habe nur die Nullstellen errechnet und die dazugehörige Funktion (wie das Aufgabe oben).
Wie gehe ich da am Besten vor, um das Monotieverhalten zu bestimmen?
Sollte ich erstmal überprüfen, ob der Graph über- oder unterhalb der X-Achse verläuft?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Welche Funktion meinst Du hier mit den Nullstellen? Bei der Untersuchung der Monotonie musst Du die Ableitungsfunktion [mm] $f\red{'}(x)$ [/mm] betrachten!
Hier sollte man zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln und kann anhand dieser Ergebnisse das Monotonie-Verhalten angeben.
Gruß
Loddar
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