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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 09.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Sei [mm] g_{v}:V \to V\*\*, [/mm] v [mm] \mapsto b_{v}(v) [/mm] die Abbildung mit [mm] b_{v}(v) \in V\*\*=Hom_{K}(V\*,K), b_{v}(v):f \mapsto [/mm] f(v) für alle v [mm] \in [/mm] V, f [mm] \in V\*.Man [/mm] zeige:
a) Die Abbildung [mm] b_{v} [/mm] ist ein Monomorphismus
b) Wenn [mm] dim_{K}V [/mm] < [mm] \infty, [/mm] dann ist [mm] b_{v} [/mm] ein Isomorphismus. |
Hallo zusammen^^
Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, bin aber an einigen Stellen nicht mehr weitergekommen und hoffe mir kann jemand helfen.
a) Ich muss also zeigen, dass [mm] b_{v} [/mm] eine lineare Abbildung ist und injektiv ist.
Bei der Injektivität hab ich mir gedacht, einfach zu zeigen, dass der Kern=0 ist, dann ist die Abbildung auch injektiv.
Also sei x [mm] \in Kern(b_{v}). [/mm] Dann ist [mm] b_{v}(x)=0. [/mm] So dann hab ich [mm] b_{v}(v):f \mapsto [/mm] f(v). Das heißt f müsste =0 sein. Aber irgendwie kann ich nicht genau begründen wieso jetzt x=0 sein muss.
Wäre lieb, wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.
b) Hier muss ich doch zeigen, dass wenn V endlichdimensional ist, dann ist [mm] b_{v} [/mm] linear, injektiv und surjektiv.
Ich habe hier leider überhaupt keinen Ansatz,wie ich anfangen kann.
Also Injektivität und Linearität hätte ich dann schon in a) gezeigt, bleibt noch die Surjektivität.Aber ich muss das ja mit der Endlichdimensionalität von V begründen. Ich wäre hier für jeden kleinen Ansatz dankbar.
lg
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> Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Sei [mm]g_{v}:V \to V\*\*,[/mm]
> v [mm]\mapsto b_{v}(v)[/mm] die Abbildung mit [mm]b_{v}(v) \in V\*\*=Hom_{K}(V\*,K), b_{v}(v):f \mapsto[/mm]
> f(v) für alle v [mm]\in[/mm] V, f [mm]\in V\*.Man[/mm] zeige:
>
> a) Die Abbildung [mm]b_{v}[/mm] ist ein Monomorphismus
> b) Wenn [mm]dim_{K}V[/mm] < [mm]\infty,[/mm] dann ist [mm]b_{v}[/mm] ein
> Isomorphismus.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, bin aber an
> einigen Stellen nicht mehr weitergekommen und hoffe mir
> kann jemand helfen.
Hallo,
die Lösung der Aufgabe käme sicher besser voran, wenn der Aufgabentext fehlerfrei und bequem zu lesen wäre. Nachdem Du über 1900 Posts hier geschrieben hast, sollte doch sowas wie [mm]V^{\*\*}[/mm] kein Problem darstellen.
Mit [mm] g_v [/mm] meinst Du [mm] b_v?
[/mm]
Und das kleine v im Index? Was soll das sein?
Heißt die Aufgabenstellung vielleicht ungefähr so:
| Aufgabe | Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
Sei
[mm]b:V \to V^{\*\*}[/mm] mit
v [mm]\mapsto b(v)[/mm] ,
wobei
b(v) [mm] \in V^{\*\*}=Hom_{K}(V\*,K) [/mm] mit
f [mm] \mapsto [/mm] f(v) für alle v [mm] \in [/mm] V, f [mm] \in V{\*}. [/mm] |
>
> a) Ich muss also zeigen, dass b eine lineare Abbildung
> ist und injektiv ist.
>
> Bei der Injektivität hab ich mir gedacht, einfach zu
> zeigen, dass der Kern=0 ist, dann ist die Abbildung auch
> injektiv.
Ja.
> Also sei x [mm]\in Kern(b).[/mm] Dann ist [mm]b(x)=0.[/mm]
Ja.
> So dann
> hab ich [mm]b(v):f \mapsto[/mm] f(v).
>Das heißt f müsste =0
> sein.
Wieso?
Du sagst: [mm] b(x)=0_{V^{\*\*}}.
[/mm]
Was bedeutet denn das? Es bedeutet:
Für alle [mm] f\in V^{\*} [/mm] ist [mm] [b(x)](f)=0_K, [/mm] also [mm] f(x)=0_k.
[/mm]
Und jetzt mußt Du einen Grund dafür finden, daß das x der Nullvektor sein muß.
EDIT:
Nehmen wir an, daß [mm] x\not=0.
[/mm]
Dann kann man x zu einer Basis B von V ergänzen.
Dazu kannst Du Dir nun überlegen, daß die lineare Abbildung
[mm] g_x: V\to [/mm] K
mit
[mm]g_{x}(v):=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer }v\in B \setminus \{0\}\\
1, & \mbox{fuer } v=x \end{cases}[/mm]
ein Element von [mm] V^{\*} [/mm] ist...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 12.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Heißt die Aufgabenstellung vielleicht ungefähr so:
>
> Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
>
> Sei
> [mm]b:V \to V^{\*\*}[/mm] mit
> v [mm]\mapsto b(v)[/mm] ,
>
> wobei
>
> b(v) [mm]\in V^{\*\*}=Hom_{K}(V\*,K)[/mm] mit
> f [mm]\mapsto[/mm] f(v) für alle v [mm]\in[/mm] V, f [mm]\in V{\*}.[/mm]
Ja,so ist die Aufgabenstellung.
>
> >
> > a) Ich muss also zeigen, dass b eine lineare Abbildung
> > ist und injektiv ist.
> >
> > Bei der Injektivität hab ich mir gedacht, einfach zu
> > zeigen, dass der Kern=0 ist, dann ist die Abbildung auch
> > injektiv.
>
> Ja.
>
> > Also sei x [mm]\in Kern(b).[/mm] Dann ist [mm]b(x)=0.[/mm]
>
> Ja.
>
> > So dann
> > hab ich [mm]b(v):f \mapsto[/mm] f(v).
> >Das heißt f müsste =0
> > sein.
>
> Wieso?
>
> Du sagst: [mm]b(x)=0_{V^{\*\*}}.[/mm]
>
> Was bedeutet denn das? Es bedeutet:
>
> Für alle [mm]f\in V^{\*}[/mm] ist [mm][b(x)](f)=0_K,[/mm] also [mm]f(x)=0_k.[/mm]
>
> Und jetzt mußt Du einen Grund dafür finden, daß das x
> der Nullvektor sein muß.
>
> Dazu kannst Du Dir überlegen, daß die Abbildung
>
> [mm]g_x: V\to[/mm] K
> mit
>
> [mm]g_{x}(v):=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer }v\not=x \\
1, & \mbox{fuer } v=x \end{cases}[/mm]
>
> ein Element von [mm]V^{\*}[/mm] ist...
>
Ok,also ich weiß,dass b(v)=0 sein muss und es ist [mm]g_x: V\to[/mm] K ein Element von [mm] V^{\*}. [/mm] Da f auch ein Element von [mm] V^{\*} [/mm] ist, ist doch f:V [mm] \to [/mm] K. Jetzt muss f(x)=0 sein und es ist [mm] g_{x}(v)=0 [/mm] für v [mm] \not=x.
[/mm]
In unserem Fall ist [mm] g_{x}(v)=0, [/mm] aber ich verstehe noch nicht genau, was mir dieses x in der Indizierung sagt, wofür steht das?
Wenn ich es weiß, kann ich vielleicht begründen, wieso in f(x)=0 x der Nullvektor sein muss. Also dass es der (Null)VEKTOR sein muss, ist mir klar, aber nicht wieso der NULLvektor.
lg
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> > Heißt die Aufgabenstellung vielleicht ungefähr so:
> >
> > Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
> >
> > Sei
> > [mm]b:V \to V^{\*\*}[/mm] mit
> > v [mm]\mapsto b(v)[/mm] ,
> >
> > wobei
> >
> > b(v) [mm]\in V^{\*\*}=Hom_{K}(V\*,K)[/mm] mit
> > f [mm]\mapsto[/mm] f(v) für alle v [mm]\in[/mm] V, f [mm]\in V{\*}.[/mm]
>
> Ja,so ist die Aufgabenstellung.
> >
> > >
> > > a) Ich muss also zeigen, dass b eine lineare Abbildung
> > > ist und injektiv ist.
> > >
> > > Bei der Injektivität hab ich mir gedacht, einfach zu
> > > zeigen, dass der Kern=0 ist, dann ist die Abbildung auch
> > > injektiv.
> >
> > Ja.
> >
> > > Also sei x [mm]\in Kern(b).[/mm] Dann ist [mm]b(x)=0.[/mm]
> > Was bedeutet denn das? Es bedeutet:
> >
> > Für alle [mm]f\in V^{\*}[/mm] ist [mm][b(x)](f)=0_K,[/mm] also [mm]f(x)=0_k.[/mm]
> >
> > Und jetzt mußt Du einen Grund dafür finden, daß das x
> > der Nullvektor sein muß.
> >
> > Dazu kannst Du Dir überlegen, daß die Abbildung
> >
> > [mm]g_x: V\to[/mm] K
> > mit
> >
> > [mm]g_{x}(v):=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer }v\not=x \\
1, & \mbox{fuer } v=x \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ein Element von [mm]V^{\*}[/mm] ist...
> >
>
> Ok,also ich weiß,dass b(v)=0 sein muss
Hallo,
hier fängt das Drama schon an: was meinst Du jetzt mit v?
Vielleicht Dein eigenes x, welches im Kern von b ist?
> und es ist [mm]g_x: V\to[/mm] K
> ein Element von [mm]V^{\*}.[/mm] Da f auch ein Element von [mm]V^{\*}[/mm]
> ist, ist doch f:V [mm]\to[/mm] K. Jetzt muss f(x)=0 sein
Von welchem f sprichst Du gerade?
> und es ist
> [mm]g_{x}(v)=0[/mm] für v [mm]\not=x.[/mm]
> In unserem Fall ist [mm]g_{x}(v)=0,[/mm] aber ich verstehe noch
> nicht genau, was mir dieses x in der Indizierung sagt,
> wofür steht das?
Wenn Dich das x verrückt macht, dann laß den Index halt weg...
Schau Dir meine editierte Antwort an:
sofern [mm] x\not=0, [/mm] kann man es zu einer Basis B von V ergänzen.
Mein [mm] g_x [/mm] ist nun die lineare Abbildung aus dem V in den K, welche wie folgt definiert ist durch die Angabe der Werte auf der Basis B:
[mm]g_x(v)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } v\in B\setminus\{x\} \\
1, & \mbox{fuer }v=x \end{cases}[/mm]
> Wenn ich es weiß, kann ich vielleicht begründen, wieso in
> f(x)=0 x der Nullvektor sein muss.
Schon wieder f...
Der Gedanke ist der bereits ausgeführte:
Wenn x im Kern von b ist, ist $ [mm] b(x)=0_{V^{**}}. [/mm] $
Das bedeutet nach Definition von b:
für alle $ [mm] f\in V^{*} [/mm] $ ist $ [mm] [b(x)](f)=0_K, [/mm] $ also $ [mm] f(x)=0_k. [/mm] $
Wenn dies für alle Elemente von [mm] V^{*} [/mm] gilt, dann gilt es auch für die oben definierte Abbildung [mm] g_x, [/mm] denn sie liegt im Dualraum von V.
Und nun bekommst Du einen Widerspruch.
Also kann es nicht sein, daß [mm] x\not=0.
[/mm]
Da bleibt nur: x=0.
Gruß v. Angela
> (Null)VEKTOR sein muss, ist mir klar, aber nicht wieso der
> NULLvektor.
>
> lg
>
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:55 So 12.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
> Dazu kannst Du Dir überlegen, daß die Abbildung
>
> [mm]g_x: V\to[/mm] K
> mit
>
> [mm]g_{x}(v):=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer }v\not=x \\
1, & \mbox{fuer } v=x \end{cases}[/mm]
>
> ein Element von [mm]V^{\*}[/mm] ist...
Die Idee ist ja richtig, aber dieses [mm]g_x[/mm] ist sicherlich nicht linear und auch nicht stetig (ich nehme an wir reden hier über stetige lineare Abbildungen). Was wir hier natürlich wollen ist ein Funktional [mm]g_x\in V^\*[/mm] mit [mm]g_x(x)\ne 0[/mm] (falls [mm]x\ne 0[/mm]). Dafür sollte man den Satz von Hahn-Banach benutzen.
Edit: Ich sehe gerade dass wir wahrscheinlich nur über den algebraischen Dualraum reden, d.h. [mm] $V^\*$ [/mm] ist einfach die Menge der linearen Abbildungen von V in den Körper, nicht notwendigerweise stetig. In diesem Fall kann man Hahn-Banach natürlich nicht einfach anwenden (wahrscheinlich haben wir ja jetzt eh nicht zur Verfügung), sondern man muss eine Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] von V wählen, die den Vektor x enthält (was natürlich auch nur geht wenn [mm]x\ne 0[/mm] ist und i.A. das Auswahlaxiom benötigt). Dann setzt man [mm]\tilde{g}_x:\mathcal{B}\to K[/mm] mit [mm] $$\tilde{g}_x(b)=\begin{cases}1&b=x\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] und betrachtet dann die eindeutig bestimmte lineare Fortsetzung [mm] $g_x$ [/mm] von [mm] $\tilde{g}_x$ [/mm] auf ganz V.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:21 So 12.12.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
danke für Deinen Hinweis.
Ich hatte offenbar nur die Hälfte dessen, was ich mir gedacht hatte, preisgegeben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 13:40 So 12.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Jetzt ist es fast richtig, aber auf einem kleinen Detail muss ich doch nochmal rumreiten: die Abbildung (in deiner Notation)
[mm]g_x(v):=\begin{cases}0&\text{falls }x\in B\setminus\{x\}\\
1&v=x\end{cases}[/mm]ist ja überhaupt nur auf B definiert, es macht daher keinen Sinn zu sagen [mm]g_x\in V^\*[/mm]. Was du meinst ist die lineare Fortsetzung von [mm]g_x[/mm] auf ganz [mm]V[/mm], also das
Prinzip der linearen Fortsetzung: Sind [mm]V[/mm] bzw. [mm]W[/mm] Vektorräume und [mm]\mathcal{B}[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm], so gibt es eine Bijektion
[mm]\Phi:\operatorname{Abb}(\mathcal{B},V)\to\operatorname{Hom}(V,W)[/mm]
Man beachte, dass dieses Prinzip im falle von stetigen linearen Abbildungen für unendlich-dimensionale Vektorräume nicht mehr gilt, dann muss man sich mit Fortsetzungssätzen wie Hahn-Banach herumschlagen.
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