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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Momente
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Momente: Tip
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Fr 07.12.2007
Autor: steffenhst

Aufgabe
Sei [mm] (Omega,\mathcal{A}, [/mm] P) ein W-Raum und X integrierbar über P. Zeigen sie: [mm] E(X)^{2} \le E(X^{2}). [/mm]  

Hallo, ich habe eine Frage zu diesem Beweis. Ich bin mir unsicher, ob das so einfach geht.

[mm] E(X)^{2} [/mm] = [mm] E(X*1)^{2} [/mm]
= [mm] (\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2}, [/mm] aus der Definition Moment
[mm] \le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2}, [/mm] aus Integrationsregeln
[mm] \le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}), [/mm] Schwarzsche Ungleichung
= [mm] E(X^{2})* [/mm] E(1), aus Definition Moment
= [mm] E(X^{2}), [/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion ist die Konstante.

Ich bin mir v.a. unsicher darüber, ob ich die konstante Funktion 1 einfach so einführen darf. Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße, Steffen

        
Bezug
Momente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Fr 07.12.2007
Autor: Blech


> Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A}, [/mm] P)$ ein W-Raum und X integrierbar

X muß quadratintegrierbar sein.

> über P. Zeigen sie: [mm]E(X)^{2} \le E(X^{2}).[/mm]  
> Hallo, ich habe eine Frage zu diesem Beweis. Ich bin mir
> unsicher, ob das so einfach geht.
>  
> [mm]E(X)^{2}[/mm] = [mm]E(X*1)^{2}[/mm]
>  = [mm](\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2},[/mm] aus der Definition
> Moment
>  [mm]\le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2},[/mm] aus
> Integrationsregeln

Braucht's den Schritt überhaupt?

>  [mm]\le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}),[/mm]
> Schwarzsche Ungleichung
>  = [mm]E(X^{2})*[/mm] E(1), aus Definition Moment
>  = [mm]E(X^{2}),[/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion ist
> die Konstante.
>

Wenn ihr die CSU verwenden dürft (sonst beweisen), dann paßt das so.

> Ich bin mir v.a. unsicher darüber, ob ich die konstante
> Funktion 1 einfach so einführen darf.

Wieso nicht? Aber wenn Du willst, kannst Du's einen Schritt hinter verlegen:

[mm] $E(X)^{2}=$ [/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}$ [/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega\cap\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}$ [/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X*1_\Omega\ dP}\right)^{2}=\dots$ [/mm]


Bezug
                
Bezug
Momente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Sa 08.12.2007
Autor: steffenhst

Hallo Blech,

> > Sei [mm](\Omega,\mathcal{A}, P)[/mm] ein W-Raum und X integrierbar
>  
> X muß quadratintegrierbar sein.

Ist sie, habe ich nur nicht hingeschrieben. Sorry.

>  >  
> > [mm]E(X)^{2}[/mm] = [mm]E(X*1)^{2}[/mm]
>  >  = [mm](\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2},[/mm] aus der Definition
> > Moment
>  >  [mm]\le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2},[/mm] aus
> > Integrationsregeln
>  
> Braucht's den Schritt überhaupt?

Ja, bei uns lautet die Schwarzsche Ungleichung:

[mm] (\integral_{}^{}{|fg| dP})^{2} \le (\integral_{}^{}{f^{2} dP}) [/mm] * [mm] (\integral_{}^{}{g^{2} dP}) [/mm]

Ich habe noch nicht in ein anderes Buch geschaut, aber deiner Frage entnehme ich, dass es wohl auch Formulierungen gibt ohne den Betrag?
  

> >  [mm]\le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}),[/mm]

> > Schwarzsche Ungleichung
>  >  = [mm]E(X^{2})*[/mm] E(1), aus Definition Moment
>  >  = [mm]E(X^{2}),[/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion
> ist
> > die Konstante.

> Wieso nicht? Aber wenn Du willst, kannst Du's einen Schritt
> hinter verlegen:
>  
> [mm]E(X)^{2}=[/mm]
>  [mm]=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}[/mm]
>  [mm]=\left(\ \integral_{\Omega\cap\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}[/mm]
>  
> [mm]=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X*1_\Omega\ dP}\right)^{2}=\dots[/mm]

Vielen Dank für die Korrektur und noch einen schönen Samstag.
Grüße, Steffen  

Bezug
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