Moivresche Formel/Binomischer < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 17.10.2005 | | Autor: | TROoPEr |
Ich habe folgendes Problem, nach meinen ersten Vorlesungen soll ich folgende Beziehung herleiten aus der Moivreschen Formel und den Binomischen Sätzen:
3 *sin (phi) = 3*sin (phi) - [mm] 4*sin^3 [/mm] *(phi)
Das Problem was ich habe, ich kann ja die Moivresche Formel nachvollziehen, doch weiß ich nicht, wie ich auf den oben genannten Zusammenhang kommen soll.
Hat es womöglich was mit der Beziehung [mm] 1=sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x zu tun, d.h. [mm] sin^3 [/mm] x = [mm] sinx*sin^2 [/mm] x = sin x * (1- [mm] cos^2 [/mm] x).
Vielen Dank, über die Suche habe ich nichts gefunden, da sie deaktiviert ist und google.de hat mir auch nicht mehr gezeigt als die Formel als solches, das finde ich aber auch in meinem Teubner Mathe Buch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 26.10.2005 | | Autor: | HiWi |
Hallo, mir wurde die gleiche Aufgabe von einem Bekannten gestellt und auf der suche nach Lösungen habe ich den Beitrag gefunden. Da mein Studium schon etwas her ist, habe ich folgende Frage:
Das Ergebnis der Anwendung der binom. Formel auf die rechte Seite ist:
[mm] cos^3 [/mm] x + 3 [mm] cos^2 [/mm] x i sin x - 3cos x i [mm] sin^2 [/mm] x - i [mm] sin^3 [/mm] x
Jetzt soll ich nach Eurem Hinweis Imaginärteil und Realteil trennen. Aber sind jetzt nicht alle Terme die i enthalten imaginär? Also würde ich jetzt doch
i sin 3x = 3 [mm] cos^2 [/mm] x i sin x - 3cos x i [mm] sin^2 [/mm] x - i [mm] sin^3 [/mm] x setzen, oder? Wie komm ich dann weiter?
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Hallo HiWi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, mir wurde die gleiche Aufgabe von einem Bekannten
> gestellt und auf der suche nach Lösungen habe ich den
> Beitrag gefunden. Da mein Studium schon etwas her ist, habe
> ich folgende Frage:
> Das Ergebnis der Anwendung der binom. Formel auf die rechte
> Seite ist:
> [mm]cos^3[/mm] x + 3 [mm]cos^2[/mm] x i sin x - 3cos x i [mm]sin^2[/mm] x - i [mm]sin^3[/mm]
> x
Da sind wohl die Potenzen von i verlorengegangen.
[mm]\left( {\cos \;x\; + \;i\;\sin \;x} \right)^3 \; = \;\cos ^3 x\; + \;3\;\cos ^2 x\;i\;\sin \;x\; + \;3\;\cos x\;i^2 \;\sin ^2 \;x\; + \;i^3 \;\sin ^3 x[/mm]
> Jetzt soll ich nach Eurem Hinweis Imaginärteil und Realteil
> trennen. Aber sind jetzt nicht alle Terme die i enthalten
> imaginär? Also würde ich jetzt doch
> i sin 3x = 3 [mm]cos^2[/mm] x i sin x - 3cos x i [mm]sin^2[/mm] x - i [mm]sin^3[/mm]
> x setzen, oder? Wie komm ich dann weiter?
Das stimmt nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Do 27.10.2005 | | Autor: | HiWi |
Danke für den Hinweis, ich hab meine Gleichung nochmal überprüft und festgestellt, das ich einfach ein i zuviel hatte. *grins*
Danke für die schnelle Antwort!!!
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Hi!
> Ich habe folgendes Problem, nach meinen ersten Vorlesungen
> soll ich folgende Beziehung herleiten aus der Moivreschen
> Formel und den Binomischen Sätzen:
>
> 3 *sin (phi) = 3*sin (phi) - [mm]4*sin^3[/mm] *(phi)
>
stimmt die Formel denn so?
denn das gilt doch nur für werte bei denen der Sinus null wird...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mo 17.10.2005 | | Autor: | TROoPEr |
Ja die Formel steht hier so auf meinem Aufgabenblatt was ich bekommen habe. Die Aufgabe lautet eben, leiten Sie unter Verwendung der Moivreschen Formel und des Binomischen Satzes trigonometrische Beziehungen her: Also die Formel die oben steht und dann noch eine Formel die die gleichen Werte hat, aber anstelle des sin je der cos steht!!
Also zwei Sachen und ich habe ehrlich gesagt keine Vorstellung wie ich das herleiten soll....habe gerade mit komplexen Zahlen angefangen, verstehe auch einiges nur hier endet mein Verständnis. Vor allem wurde nur die normale Moivre Formel kurz erwähnt in der Vorlesung und das wars und mein Buch Höhere Mathematik für Ingenieure ist mir keine große Hilfe.
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Hallo TROoPEr,
> Ja die Formel steht hier so auf meinem Aufgabenblatt was
> ich bekommen habe. Die Aufgabe lautet eben, leiten Sie
> unter Verwendung der Moivreschen Formel und des Binomischen
> Satzes trigonometrische Beziehungen her: Also die Formel
> die oben steht und dann noch eine Formel die die gleichen
> Werte hat, aber anstelle des sin je der cos steht!!
> Also zwei Sachen und ich habe ehrlich gesagt keine
> Vorstellung wie ich das herleiten soll....habe gerade mit
> komplexen Zahlen angefangen, verstehe auch einiges nur hier
> endet mein Verständnis. Vor allem wurde nur die normale
> Moivre Formel kurz erwähnt in der Vorlesung und das wars
> und mein Buch Höhere Mathematik für Ingenieure ist mir
> keine große Hilfe.
Es ist wohl eher diese Formel gemeint:
[mm]\sin \;\left( {3\varphi } \right)\; = \;3\;\sin \left( \varphi \right)\; - \;4\;\sin ^{3} \left( \varphi \right)[/mm]
Tipp:
[mm]\sin \left( {a\varphi } \right)\; = \;\frac{1}
{{2i}}\;\left( {e^{ia\varphi } \; - \;e^{ - ia\varphi } } \right)[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mo 17.10.2005 | | Autor: | TROoPEr |
Vielen Dank, ich werde mich damit ransetzen,,,verdammt es heißt wirklich sin 3phi auf meinem Blatt,,,argh.
Wo hast du die abgewandelte Eulersche Formel her??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mo 17.10.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo TROoPEr,
> Vielen Dank, ich werde mich damit ransetzen,,,verdammt es
> heißt wirklich sin 3phi auf meinem Blatt,,,argh.
> Wo hast du die abgewandelte Eulersche Formel her??
>
Es gelten die Eulerschen Formeln:
[mm]\begin{gathered}
e^{ia\varphi } \; = \;\cos \;a\varphi \; + \;i\;\sin \;a\varphi \hfill \\
e^{ - ia\varphi } \; = \;\cos \;a\varphi \; - \;i\;\sin \;a\varphi \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die zweite Formel bekommst Du wenn in die erste Gleichung das Argument [mm]-a\varphi[/mm] einsetzt.
So dann subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten und erhalten:
[mm]e^{ia\varphi } \; - \;e^{ - ia\varphi } \; = \;2\;i\;\sin \;a\varphi [/mm]
Also
[mm]
\sin \left( {a\varphi } \right)\; = \;\frac{1}
{{2i}}\;\left( {e^{ia\varphi } \; - \;e^{ - ia\varphi } } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 17.10.2005 | | Autor: | TROoPEr |
So ich habe das jetzt angewendet:
sin (3*phi) = 0.5i * [cos (a*phi) + i*sin (a*phi) - cos (a*phi) + i*sin (a*phi)]
alles weggekürzt und ausmultipliziert ergibt das eine wahre Aussage.
sin a*phi = sin a*phi
jetzt weiß ich das die Aussage stimmt, nur mit meinem Beweis bin ich immer noch nicht weiter gekommen.
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Hallo TROoPEr,
> So ich habe das jetzt angewendet:
>
> sin (3*phi) = 0.5i * [cos (a*phi) + i*sin (a*phi) - cos
> (a*phi) + i*sin (a*phi)]
>
> alles weggekürzt und ausmultipliziert ergibt das eine wahre
> Aussage.
>
> sin a*phi = sin a*phi
>
> jetzt weiß ich das die Aussage stimmt, nur mit meinem
> Beweis bin ich immer noch nicht weiter gekommen.
>
Für beide Seiten mußt Du die Formeln einsetzen, die ich Dir geliefert habe.
Für die linke Seite ist a=3, bei der rechten Seite ist a=1.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 17.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Trooper
die Moivre Formel sagt doch: wegen [mm] e^{i*\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] gilt
[mm] cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi)=(cos(\phi)+i*sin(\phi))^{n}
[/mm]
das machst du für n=3, die rechte Seite mit der binomischen Formel. Dann sammelst du Realteil und Imaginärteil. Der Imaginärteil rechts= Imaginärteil links. Und wenn du dann noch [mm] cos^{2}\phi=1-sin^{2}\phi [/mm] setzest bist du fertig!
Deine Schwierigkeit ist wohl, dass dir nicht klar ist, dass man Realteil und Imaginärteil einzeln gleichsetzen muss!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Di 18.10.2005 | | Autor: | TROoPEr |
Nochmals vielen Dank an meine Helfer. Ich habe für n=3 eingesetzt den imaginären Teil und den Realteil abgekappt und getrennt betrachet und siehe da es funktioniert, ich komme auf meine vorgegebenen Beziehungen.
Das ich Real und imaginären Teil bei solchen Sachen getrennt betrachten muss, wusste ich bis gestern nicht. Danke, dass ihr euch so engagiert im Forum!!
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