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| Aufgabe | Gegeben seien eine reelle, positive Zahl a und hierzu die Möbius-Transformation T mit
f(z) = [mm] ai\bruch{1+z}{1-z}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass T das Innere des Einheitskreises auf die obere Halbebene und die reelle Achse auf die imaginäre Achse abbildet.
b) Bestimmen Sie für eine beliebige positive reelle Zahl r mit r [mm] \ne [/mm] 1 das Bild des Kreises {z ∈ C | |z| = r} unter T. Vergewissern Sie sich, dass dieses Bild wiederum ein Kreis ist, und berechnen Sie dessen Mittelpunkt und Radius.
c) Für welche Werte von a und r erhält man den Kreis {z ∈ C | |z − 4i| = 1}? |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich anfangen soll.Ich bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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Hallo,
mein Rechenweg für b.):
4 Punkte wählen:
M(3)=-2ai
M(1)=ai [mm] (2/0)=\infty
[/mm]
M(-1)=0
M(2)=-3ai
Mittelpunkt:
MP=(-2ai+(-3ai))/2=-2,5ai
r=-2,5ai-(-3ai)=0,5ai
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mo 27.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Student18,
> Hallo,
>
> mein Rechenweg für b.):
>
> 4 Punkte wählen:
>
> M(3)=-2ai
> M(1)=ai [mm](2/0)=\infty[/mm]
> M(-1)=0
> M(2)=-3ai
Du hast 4 Punkte auf einer Geraden (der reellen Achse) gewählt,
und auf sie jeweils die Funktion f angewendet.
Was bringt Dir das für Aufgabe b)?
Bei b) geht es um das Bild eines Kreises
um den Mittelpunkt z=0 und Radius r, wobei r [mm] $\not=$ [/mm] 1 sein soll,
unter der Abblidung f.
>
> Mittelpunkt:
Mit f(0) kannst Du den Mittelpunkt des Bildkreises (falls es ein Kreis ist) berechnen.
>
> MP=(-2ai+(-3ai))/2=-2,5ai
>
> r=-2,5ai-(-3ai)=0,5ai
Wie lässt sich |z|, der Betrag einer komplexen Zahl z, berechnen?
>
> Gruß
>
Gruß
meili
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Hallo,
wie muss ich dann bei b vorgehen.
f(0)=ai=Mittelpunkt
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 26.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Fangen wir mal mit a) an:
Nimm ein z mit |z|<1 und zeige: Im(f(z))>0.
FRED
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Hallo,
für a.):
z=0
f(0)=ai
[mm] Im(ai)=i(ai)=ai^2
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 26.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Student18!
> Hallo,
>
> für a.):
>
> z=0
>
> f(0)=ai
>
> [mm]Im(ai)=i(ai)=ai^2[/mm]
Nein, Im(ai)=a>0.
Damit hast du gezeigt, dass z=0 auf ai abgebildet wird, was auch in der oberen Halbebene liegt, was ist aber mit den unendlich vielen anderen Punkten der offenen Einheitskreisscheibe?
Schreibe [mm]z=x+iy[/mm],bringe [mm]f(x,y)=ai*\frac{1+(x+iy)}{1-(x+iy)}[/mm] auf die Form [mm]A+iB[/mm] und zeige [mm]B>0[/mm] für [mm]|z|<1[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
ich weiß nicht, wie ich f(x,y) auf die Form A+iB bringen kann.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 26.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Mache den Nenner reell - erweitere dazu mit dem komplex Konjugierten. Dann kannst du den Bruch in einen rein reellen und einen rein imaginären Teil zerlegen.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
[mm] f(x,y)=ai\bruch{1+(x+iy)(x-iy)}{1-(x+iy)(x-iy)}
[/mm]
[mm] f(x,y)=ai\bruch{1+(x^2-(iy)^2}{1-x^2-(iy)^2}
[/mm]
[mm] f(x,y)=ai\bruch{1+(x^2+y^2)}{1-(x^2+y^2}
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Fulla |
> [mm]f(x,y)=ai\bruch{1+(x+iy)(x-iy)}{1-(x+iy)(x-iy)}[/mm]
Der Nenner ist doch [mm]1-(x+iy)=1-x-iy[/mm]. Erweitere also mit [mm]1-x+iy[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
[mm] f(x,y)=\bruch{x+iy+1}{-x-iy+1}
[/mm]
Und jetzt was soll ich jetzt machen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 28.05.2013 | | Autor: | Fulla |
> Und jetzt was soll ich jetzt machen?
Was ich schon zweimal geschrieben habe: Erweitere den Bruch so, dass der Nenner reell wird:
[mm]f(x,y)=ai\frac{1+x+iy}{1-x-iy}=a\frac{i+ix-y}{1-x-iy}=a\frac{(i+ix-y)(1-x+iy)}{(1-x-iy)(1-x+iy)}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
das Ergebnis ist dann
[mm] f(x,y)=-i(1+\bruch{2}{x+iy-1})
[/mm]
Gruß
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Hallo,
das Ergebnis ist aus Wolfram Alpha.
link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%28%28%28i%2Bix-y%29%281-x%2Biy%29%29%2F%28%281-x-iy%29%281-x%2Biy%29%29%29
Es handelt sich um eine alternative Form.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 28.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
dein Ergebnis ist zwar richtig, aber es hat nicht die Form [mm]A*iB[/mm] und bringt dich kein Stück weiter.
Ein bisschen selber rechnen musst du schon!
Ein letztes Mal: Bringe alles auf einen Bruchstrich, mache den Nenner reell und trenne Real- und Imaginärteil.
Anschließend willst du ja [mm]|z|<1[/mm] ins Spiel bringen. Dabei hilft dir [mm]|z|<1 \Leftrightarrow |z|^2<1 \Leftrightarrow x^2+y^2<1[/mm]. Halte also Ausschau nach den Termen [mm]x^2+y^2[/mm]. (Wenn du richtig umgeformt hast, wirst du automatisch darauf stoßen.)
Wenn du dir beim nächsten Zwischenergebnis nicht sicher bist, dann poste bitte auch deinen Rechenweg dazu. So können wir dir genau den Fehler zeigen (sofern du einen gemacht hast). Und noch ein Tipp: Wenn im Nenner deines Ergebnisses ein [mm]i[/mm] auftaucht, ist es (wahrscheinlich) falsch, denn dann ist dieser Nenner nicht reell.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
mein Rechenweg für c.):
r=1+4i
[mm] f((1+4i)e^{i\varphi})=ai((1+(1+4i))e^{i\varphi})/((1-(1+4i))e^{i\varphi})
[/mm]
[mm] w*(((1-(1+4i))e^{i\varphi})/((1+(1+4i))e^{i\varphi}))=ai
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mo 27.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
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> mein Rechenweg für c.):
>
> r=1+4i
r soll eine positive reelle Zahl sein.
>
> [mm]f((1+4i)e^{i\varphi})=ai((1+(1+4i))e^{i\varphi})/((1-(1+4i))e^{i\varphi})[/mm]
>
> [mm]w*(((1-(1+4i))e^{i\varphi})/((1+(1+4i))e^{i\varphi}))=ai[/mm]
>
> Gruß
Es geht um einen Kreis mit Radius r mit Null als Mittelpunkt.
Darauf soll die Abbildung f angewendet werden,
und ein Kreis mit Radius 1 um den Mittelpunkt 4i entstehen.
Für welche a und r ist das so?
Gruß
meili
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Hallo,
bei der letzten Aufgabe geht es nur um den Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt 4i.
Für r=1 ist es der Fall und für
[mm] ai=w\bruch{1-e^(i\varphi)}{1+e^(i\varphi)}
[/mm]
So oder muss ich anders vorgehen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Distributivgesetz