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| Aufgabe | Eine Möbius-Transformation T werde durch die Angaben T(i)=0, T(1)=−i, T(0)=−1
beschrieben.
Worauf wird der erste Quadrant ( Re (z) >0 und Im(z)>0 ) abgebildet? |
Die oben beschriebene Bedingung zeigt mir doch nur Achsen an, worauf sollen denn der I.Quadrant dann abgebildet werden ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Eine Möbius-Transformation T werde durch die Angaben
> T(i)=0, T(1)=−i, T(0)=−1
> beschrieben.
> Worauf wird der erste Quadrant ( Re (z) >0 und Im(z)>0 )
> abgebildet?
> Die oben beschriebene Bedingung zeigt mir doch nur Achsen
> an, worauf sollen denn der I.Quadrant dann abgebildet
> werden ?
Berechne doch T mit dem Ansatz: [mm] $T(z)=\bruch{az+b}{cz+d}$
[/mm]
FRED
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Das habe ich gerade gemacht und komme auf:
T(z) [mm] =\bruch{iz+1}{iz-1}
[/mm]
Aber es bringt mich auch nicht weiter , oder?
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Hallo,
> Das habe ich gerade gemacht und komme auf:
>
> T(z) [mm]=\bruch{iz+1}{iz-1}[/mm]
> Aber es bringt mich auch nicht weiter , oder?
Doch (sonst wäre es nicht angeraten worden!): jetzt musst du dir überlegen, was die einzelnen Verknüpfungen der Funktionsvorschrift bewirken. Fange im Nenner an. Wa macht i*z, was bewirkt die -1, was haben Kehrwert und Inversion am Kreis mit der Gauß'schen Ebene und [mm] \IC [/mm] zu tun, etc.
Also: da muss man einfach ein wenig darüber nachdenken, was da steht. Das wollen wir hier ja nicht einfach so durch eine fertige Antwort unterbinden. 
Es ist zwar ziemlich knapp gehalten, aber vielleicht hilft die gute alte ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ein wenig weiter bzw. auf die Sprünge?
Gruß, Diophant
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ich habe mir den Wikipedia Artikel angeschaut, aber ich weiß es immer noch nicht.
Wenn man T(z) aufspaltet ergibt sich:
T(z)= [mm] (iz+1)(\bruch{1}{iz-1})
[/mm]
der erste Term würde demnach für eine Drehstreckung und eine Translation stehen, der zweite Term für eine Inversion, Drehstreckung und Translation ?
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Eine Möbiustransformation bildet Kreise auf Kreise ab, wobei Geraden als Kreise durch [mm]\infty[/mm] angesehen werden.
Die positive reelle Achse und die positive imaginäre Achse beranden den I. Quadranten. Deren Bilder beranden daher das Bild des I. Quadranten.
Beginnen wir mit dem Kreis durch [mm]0, \operatorname{i}, \infty[/mm]. Das ist also die imaginäre Achse. Die Bilder der drei Punkte unter [mm]T[/mm] sind der Reihe nach [mm]-1,0,1[/mm]. Offenbar liegen diese auf der reellen Achse. Damit wird die imaginäre Achse auf die reelle Achse abgebildet. Man kann noch mehr sagen: Wenn [mm]z[/mm] von [mm]0[/mm] über [mm]\operatorname{i}[/mm] nach [mm]\infty[/mm] läuft, geht [mm]w = T(z)[/mm] die Punkte [mm]-1,0,1[/mm] in dieser Reihenfolge ab. Die positive imaginäre Achse wird also auf die Strecke, die von [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm] begrenzt wird, abgebildet.
Jetzt überlege dir analog, worauf die positive reelle Achse, also der Kreis durch [mm]0,1,\infty[/mm], abgebildet wird.
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es muss wohl eine menge aller punkten innerhalb eines halbkreises um null mit dem radius 1 sein (richtung -1, -i, +1)
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