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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben folgende Aufgabe gestellt gekriegt:
Zeigen Sie, dass für eine positive Zahl n gnau dann [mm] \summe_{i=1}^{n-1} i^{2}\equiv0 [/mm] mod n gilt, wenn [mm] n\equiv1mod6 [/mm] oder [mm] n\equiv-1mod6 [/mm] gilt.
Bisher bin ich so weit, dass n=6m+1 bzw. n=6m+5 sein muss. (nicht sicher ist, ob wirklich gilt [mm] 6*m+5\equiv-1mod6 [/mm] )
Sowie: [mm] \summe_{i=1}^{n-1} i^{2}=\bruch{n(n-1)(2n-1)}{6}
[/mm]
Jetzt hab ich einmal eingesetzt n=6m+1 und n=6m+5:
-> [mm] =\bruch{6m+1(6m)(12m)}{6}=\bruch{(36 m^{2})(12m+1)}{6} [/mm] für n=6m+1
sowie [mm] \bruch{6m+5(6m+4)(12m+9)}{6}=\bruch{(36 m^{2}+54m)(12m+9)}{6} [/mm] für n=6m+5.
Meine Frage wär jetzt, ob es reicht zu zeigen, dass das Ergebnis in [mm] \IZ [/mm] liegt, oder ob man (was ich glaube) zeigen muss, dass der term durch n teilbar ist. Allerdings stellt sich hier die Frage, ob die Division richtig ist:
(Zähler durch n) [mm] =6m(12m+1)=72m^{2}+6m [/mm] für n=6m+1
sowie [mm] (6m+4)(12m+9)=72m^{2}+102m+36=12m^{2}+17m+6 [/mm] für n=6m+5
kann man das so schreiben? Kommt mir trotzdem noch akut spanisch vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kaputtnik!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass für eine positive Zahl n gnau dann $ [mm] \summe_{i=1}^{n-1} i^{2}\equiv0 [/mm] $ mod n gilt, wenn $ [mm] n\equiv1mod6 [/mm] $ oder $ [mm] n\equiv-1mod6 [/mm] $ gilt.
> Bisher bin ich so weit, dass n=6m+1 bzw. n=6m+5 sein muss. (nicht sicher ist, ob wirklich gilt $ [mm] 6\cdot{}m+5\equiv-1mod6 [/mm] $ )
> Sowie: $ [mm] \summe_{i=1}^{n-1} i^{2}=\bruch{n(n-1)(2n-1)}{6} [/mm] $
Das ist genau richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ...
> Meine Frage wär jetzt, ob es reicht zu zeigen, dass das Ergebnis in $ [mm] \IZ [/mm] $ liegt, oder ob man (was ich glaube) zeigen muss, dass der term durch n teilbar ist.
Letzteres ist schonmal richtig, d.h. der Term [mm] $\bruch{n(n-1)(2n-1)}{6}$ [/mm] muss ein Vielfaches von $n$ sein. Wäre dem nicht so, dann muss in $ggT(n,6)>1$ gelten (denn sonst würde kein Primfaktor aus n gekürzt). Da aber [mm] $n=6m\pm [/mm] 1$ ist, gilt in jedem Falle $ggT(n,6)=1$ und somit bleiben alle Primfaktoren von n erhalten, d.h. also, dass [mm] $\bruch{n(n-1)(2n-1)}{6}\equiv 0\pmod{n}$ [/mm] gilt.
Letzteres ist zwar richtig, doch noch nicht die komplette Lösung. Es gilt zu zeigen, dass die Aussagen [mm] $A:\quad\summe_{i=1}^{n-1} i^{2}\equiv0 \pmod{n}$ [/mm] und [mm] $B:\quad n\equiv 1\pmod{6}\vee n\equiv -1\pmod{6}$ [/mm] äquivalent sind. Wir haben gerade die Rückrichtung gezeigt.
Was nun noch von dir zu zeigen bleibt, ist, dass aus [mm] $\bruch{n(n-1)(2n-1)}{6}\equiv 0\pmod{n}$ [/mm] auch sofort [mm] $n\equiv 1\pmod{6}\wedge n\equiv -1\pmod{6}$ [/mm] folgt. Das allerdings lässt sich mit einem leichten Argument beweisen. Schaffst du das?
Liebe Grüße,
Hanno
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