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Hallo liebes Forum. Ich bräuchte Gesetzte für Modulo doch mir fallen keine ein. Was muss man denn dabei beachten außer das die beiden Zahlen z.B a und b durch modulo m den gleichen Rest hinterlassen ? Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo liebes Forum. Ich bräuchte Gesetzte für Modulo
> doch mir fallen keine ein. Was muss man denn dabei beachten
> außer das die beiden Zahlen z.B a und b durch modulo m
> den gleichen Rest hinterlassen ? Danke für eure Hilfe.
das kannst Du in einigen Büchern nachlesen ("Elementare und algebraische
Zahlentheorie von Müller-Stach, Piontkowski bspw."):
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \mid [/mm] (b-a)$ [mm] $\iff$ [/mm] $n [mm] \mid (a-b)\,.$
[/mm]
Gilt $m [mm] \mid n\,,$ [/mm] so folgt
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod \red{\,m}\,.$
[/mm]
Auch gilt sowas wie
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ und $c [mm] \equiv [/mm] d [mm] \mod [/mm] n$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a*c [mm] \equiv [/mm] b*d [mm] \mod [/mm] n$ und $a+c [mm] \equiv [/mm] b+d [mm] \mod n\,.$
[/mm]
Oder
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ [mm] $\iff$ [/mm] $ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod mn\,.$
[/mm]
Und das sind nur die elementarsten Gesetze. Bspw. gilt auch
$ma [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,,$
[/mm]
oder
$ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod n\,.$
[/mm]
Die letzten beiden Aussagen sin übrigens äquivalent: Setzt man in der unteren
speziell [mm] $b=0\,,$ [/mm] so folgt die obere.
Nun gelte *duchweg*
$ma' [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1$ $\Rightarrow$ [/mm] $a' [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,.$
[/mm]
Hat man
$ma [mm] \equiv [/mm] mb [mm] \mod [/mm] n$ und [mm] $\ggT(m,n)=1\,,$
[/mm]
so schreibe man dies äquivalent um zu
$m(a-b) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,.$ ($\ggT(m,n)=1$ [/mm] gilt weiterhin, werde aber nicht immer erwähnt,
aus Faulheitsgründen meinerseits!)
Mit $a':=a-b$ folgt nach Voraussetzung
$a'=a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod n\,,$
[/mm]
also
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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