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| Aufgabe | Es sei M ein Modul mit endlicher Basis über einen Hauptidealring, und U ein Untermodul von M. Ist U notwendig endlich erzeugt?
(1) Ja, und zwar von den Elementen der Basis von M, die in U liegen.
(2) Ja, das folgt aus dem Elementarteilersatz.
(3) Nein. |
Hallo...
ich habe mit der obrigen Aufgabe so meine Probleme...
Bei der ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig ist, weil ein Untermodul ja eine Úntergruppe von M ist und gleichzeitig für die Multiplikation mit Elementen aus M abgeschlossen ist, deswegen bin ich der Meinung das auch U endlich erzeugt ist.
(2) hier würde ich auch sagen, dass es richtig ist...mein Problem ist das es eher eine Intuition ist und ich es nicht 100 % begründen kann...Könnte mir die jemand erklären?
(3) Da ich bei (1) und (2) für richtig bin. schließt das ja nun die dritte Antwort aus...
Bin ich mit meinen Vermutungen soweit richtig?..ich wäre über jede Hilfe dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mo 24.05.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
> Es sei M ein Modul mit endlicher Basis über einen
> Hauptidealring, und U ein Untermodul von M. Ist U notwendig
> endlich erzeugt?
> (1) Ja, und zwar von den Elementen der Basis von M, die in
> U liegen.
> (2) Ja, das folgt aus dem Elementarteilersatz.
> (3) Nein.
> Hallo...
>
> ich habe mit der obrigen Aufgabe so meine Probleme...
>
> Bei der ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig
> ist, weil ein Untermodul ja eine Úntergruppe von M ist und
> gleichzeitig für die Multiplikation mit Elementen aus M
> abgeschlossen ist, deswegen bin ich der Meinung das auch U
> endlich erzeugt ist.
die erste aussage, sagt aber etwas anderes aus, nämlich sagt die etwas darüber, wie du an das erzeugenden system kommst. betrachte doch einfach mal den [mm] $\mathbb{Z}$-modul $\mathbb{Z}$, [/mm] dieser hat eine endliche basis $B$ (nämlich welche zum beispiel?). welche (echten) untermoduln $U$ kennst du nun? wird $U$ von den elementen von $B [mm] \cap [/mm] U$ erzeugt?
> (2) hier würde ich auch sagen, dass es richtig ist...mein
> Problem ist das es eher eine Intuition ist und ich es nicht
> 100 % begründen kann...Könnte mir die jemand erklären?
die begründung liefter dir vielleicht ein blick auf den elementarteiler satz. was sagt dieser denn genau aus?
> (3) Da ich bei (1) und (2) für richtig bin. schließt das
> ja nun die dritte Antwort aus...
jep, aber man muss zunächst mal eine saubere begründung finden, dass (1) oder (2) richtig sind.
grüße
andreas
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> hallo
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> > Es sei M ein Modul mit endlicher Basis über einen
> > Hauptidealring, und U ein Untermodul von M. Ist U notwendig
> > endlich erzeugt?
> > (1) Ja, und zwar von den Elementen der Basis von M, die
> in
> > U liegen.
> > (2) Ja, das folgt aus dem Elementarteilersatz.
> > (3) Nein.
> > Hallo...
> >
> > ich habe mit der obrigen Aufgabe so meine Probleme...
> >
> > Bei der ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig
> > ist, weil ein Untermodul ja eine Úntergruppe von M ist und
> > gleichzeitig für die Multiplikation mit Elementen aus M
> > abgeschlossen ist, deswegen bin ich der Meinung das auch U
> > endlich erzeugt ist.
>
> die erste aussage, sagt aber etwas anderes aus, nämlich
> sagt die etwas darüber, wie du an das erzeugenden system
> kommst. betrachte doch einfach mal den [mm]\mathbb{Z}[/mm]-modul
> [mm]\mathbb{Z}[/mm], dieser hat eine endliche basis [mm]B[/mm] (nämlich
> welche zum beispiel?). welche (echten) untermoduln [mm]U[/mm] kennst
> du nun? wird [mm]U[/mm] von den elementen von [mm]B \cap U[/mm] erzeugt?
>
Die Aussage ist nun doch falsch. Denn [mm] \IZ [/mm] hat die Basis <1>. Da [mm] \IZ [/mm] ein Hauptidealring ist, sind die Untermodule auch gleichzeitig die Ideal des Ringes. Ein beispiel für ei Untermodul wäre 2 [mm] \IZ [/mm] (alle geraden Zahlen) In diesem Fall wäre B [mm] \cap [/mm] U = [mm] \emptyst
[/mm]
[mm] \emptyset [/mm] erzeugt aber nicht 2 [mm] \IZ [/mm] und somit ist diese Aussage falsch...
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> > (2) hier würde ich auch sagen, dass es richtig ist...mein
> > Problem ist das es eher eine Intuition ist und ich es nicht
> > 100 % begründen kann...Könnte mir die jemand erklären?
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> die begründung liefter dir vielleicht ein blick auf den
> elementarteiler satz. was sagt dieser denn genau aus?
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So habe den Satz nochmal komplett durch gearbeitet und bin nun immer noch der Meinung das es richtig ist. Denn es ist ja gerade die Aussage des Elementarteilersatzes dass es ein endlicher erzeugtes Modul M in einem Ring gibt, wobei U ein Untermodul von M ist. Nun ist [mm] x_{1},..., x_{s} [/mm] ein Teil der Basis von M und [mm] \alpha_{1},..., \alpha_{s} [/mm] sind Koeffizienten aus R
Nun besagt der Satz gerade dass [mm] \alpha_{1}x_{1},..., \alpha_{s}x_{s} [/mm] eine Basis von U bilden und das ist ja somit das geforderte...
Sind meine Begründungen so korrekt?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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