Modul < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hab noch eine Aufgabe zu Moduln. ICH BITTE UM HILFE!!
Seien M ein R - Modul (R kommutativer Ring mit 1) und N [mm] \subset [/mm] P [mm] \subset [/mm] M Untermoduln.
Zeige: Es gibt einen Isomorphismus
[mm] \alpha [/mm] : (M/N)/(P/N)[mm] \to M/P [/mm] , so dass
[mm] \alpha [/mm]((m+N)+P/N)=m+P für alle m Element von M.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Dana!
Verwende hier den 1. Isomorphiesatz für Moduln:
Ist [mm] $\blue{\alpha:M \to W}$ [/mm] ein Epimorphismus zwischen den [mm] $\blue{R}$-Moduln $\blue{M}$ [/mm] und [mm] $\blue{W}$, [/mm] dann ist
[mm] $\blue{M/Ker(\alpha) \cong W}$.
[/mm]
Der Isomorphismus ordnet dabei jeder Restklasse [mm] $\blue{v + Ker(\alpha)}$ [/mm] das Bild [mm] $\blue{\alpha(v) \in W}$ [/mm] des Elementes [mm] $\blue{v \in M}$ [/mm] zu.
So, damit ist die Aufgabe ein Kinderspiel. Betrachte die Abbildung
[mm] $\alpha: \begin{array}{ccc} M/N & \to & M/P\\[5pt] m+N & \mapsto & m+P \end{array}$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch zeigen/erwähnen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] wohldefiniert (das würde ich der Form halber zeigen), surjektiv (trivial) und $R$-linear (trivial) ist. Dann folgt die Behauptung aus dem 1.Isomorphiesatz.
Liebe Grüße
Julius
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