Modellierungsverfahren < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Do 12.01.2012 | | Autor: | Subrosa |
| Aufgabe | | Gib eine Beschreibung von Verfahren zu Modelierung von Bevölkerungswachstum |
Guten Tag,
ich soll nächste Woche ein Referat zum Thema Bevölkerungswachstum halten und habe dazu von meinem Lehrer ein Blatt bekommen, worauf steht, was er von mir erwartet. Oben habe ich eine Sache davon aufgeführt. Ich habe Google und andere Foren durchsucht, bin aber auf relativ wenig gestoßen.
Frage: Sind hiermit lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum gemeint?
und eine weitere Frage: Welche Probleme möchte man mit diesen "Modellen" lösen?
Mir würde ein Ansatz mit dem ich arbeiten kann schon einmal reichen. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen. Dankeschön.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Subrosa und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es wäre schon gut, wenn du noch mehr von den Anforderungen, die dein Lehrer gestellt hat, angeben könntest.
Grundsätzlich kommen meiner Ansicht nach eigentlich eher das exponentielle oder das logistische Wachstum in Frage. Kennst du denn die Diffenezialgleichungen dieser Modelle, dann wird dir das schnell klar werden, weshalb. Denn prinzipiell wächst eine Population proportional zum Bestand. Das wäre exponentielles Wachstum. Wären da nicht auf vielfältige Arten und Weisen diesem Wachstum in der Realität Grenzen gesetzt. Da wären wir beim logistischen Wachstum als einfachstem Modell.
Beim Wachstum der Weltbevölkerung ist ja immer die Frage, wie diese Grenzen ausschauen und wann sie sich bemerkbar machen. Lange Zeit hat man das mit exponentiellem Wachstum modelliert, heute mehren sich die Anzeichen, dass die momentane Zuwachsrate stagniert, und falls sie wieder abnehmen würde, dann würde dies ebenfalls dafür sprechen, dass ein logistisches Modell geeignet wäre.
Folgende Beispiele für die vier Modelle fallen mir spontan ein:
Lineares Wachstum:
Das ist einfach: nimm einen Behälter, der mit einer Flüssigkeit gefüllt ist und zwar mit konstanter Füllgeschwindigkeit - fertig.
beschränktes Wachstum:
Viele Medikamentenwirkstoffe werden in der Niere verstoffwechselt. Diese baut Stoffe proportional zum Gehalt im Blut ab. Führt man nun von diesem Stoff kontinuierlich eine bestimmte Menge bspw. über eine Infusion zu, so wird - wie die Mediziner sagen, ein 'Steady-State' erreicht; wir sagen <i>Sättigungsgrenze<i> dazu. Genau das will man aber bspw. bei Schmerzmitteln nach einer OP, und glücklicherweise gehören viele Schmerzmittel in die Gruppe derjenigen Medikamente, bei denen das funktioniert.
WARNUNG: Diese Logik darf man !!!NIEMALS!!! auf Alkohol anwenden: dieser wird in der Leber abgebaut, das geschieht annähernd linear. D.h.: sauft man mehr, als abgebaut wird, dann bekommt man irgendwann eine Alkoholvergiftung!
exponentielles Wachstum:
Hier nhmen wir mal zur Abwechslung einen Abnahmeprozess. Beim radioaktiven Zerfall werden Neutronen frei. Treffen diese auf andere Atome, werden die ebenfall gespalten. Daher ist die Zerfallsrate proportional zur Menge der noch vorhandenen radioaktiven Substanz, woraus sofort die exponentielle Abnahme folgt.
logistisches Wachstum:
Erstaunlicherweise lässt sich das Höhenwachstum von Bäumen sehr gut durch logistisches Wachstum beschreiben. Dies hat seine Gründe darin, dass das Wachstum zu Beginn, beim kleinen Setzling, auf Zellteilung beruht. Je größer der Baum jedoch wird, desto schwieriger wird es, immer mehr Nährstoffe aufzunehmen. Dies bremst den Wachstumsvorgang so lange, bis er zum Stillstand kommt.
Suche dir selber weitere Beispiele. Und wie gesagt, für ein konkretes Modellierungsproblem müsstest du viel mehr Eckdaten bekannt geben (was ich dir gar nicht raten würde, wenn es um ein Referat geht...)
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 12.01.2012 | | Autor: | Subrosa |
| Aufgabe | - Gebe eine Beschreibung von Verfahren zur Modellierung von Bevölkerungswachstum.
- Welche Probleme möchte man mit diesen Modellen lösen?
- Von welchen Voraussetzungen gehen die Verfahren aus?
- Wie unterscheiden sich die vorgestellten Modelle?
- Was sind ihre Nachteile?
[Vortrag 15-20 min, Schriftl Zusammenfassung 1-2 Seiten] |
Da sie/du (?) gefragt hatten, hier noch einmal die kompletten Forderungen.
Die Unterschiede wären mir damit klar.
Zum Rest:
Voraussetzungen: Man muss bestimmte Werte, wie Bevölkerungszahl und verschiedene Faktoren (Wachstumsrate bei exponential) wissen. Doch wie ist das beim logistischen Wachstum? Ich vermute, man muss wissen, wie schnell sich die Ressourcen (Nährstoffe, Platz usw aufbrauchen). Stimmt das?
Nachteile: Das lineare Wachstum kann man wohl nicht auf eine Bevölkerung anwenden, da hier der bestand nach jeder Zeiteinheit ausschlaggebend ist.
Das exponentielle hat keine Grenze, die bei einer bevölkerung aber immer gegeben sein müsste (Und sei es aus Platzmangel). Also ist dies nur begrenzt anwendbar.
Haben beschränktes und logistisches Wachstum auch Nachteile?
Zu lösende Probleme: Hier bin ich mir noch etwas unschlüssig. Man möchte ja quasi ermitteln wie stark die bevölkerung zu/abnimmt. Eventuell wie schnell sich ein Virus ausbreitet? Hier habe ich noch Probleme.
Zum allgemeinen: Ich denke ich sollte diese Fragen vor der Klasse beantworten und etwas darauf eingehen. Es wäre wohl noch sinnvoll eine Aufgabe vorzurechnen. Da mein theme "Bevölkerungswachstum" ist, sollte ich auch ein Beispiel aus dieser Sparte nehmen. Am sinnvollsten erscheint mir hier das logistische Wachstum. Liege ich da falsch?
Und noch ein Dankeschön, sehr sehr gute, ausführliche und zudem leicht verständliche Antwort. :)
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Hallo,
mal kurz einige Rückfragen:
- Welche Klassenstufe?
- Wie sollen beschränktes und logistisches Wachstum beschrieben werden (durch rekursive Folgen oder durch Funktionen)?
- Sind Differentialrechnung und insbesondere Differentialgleichungen bekannt und sollen verwendet werden?
- Soll auch das Werkzeug der Regression vorgestellt bzw. angesprochen werden?
Ansonsten: die Vorgaben sind etwas schwammig, absichtlich vermutlich. D.h., du bist aufgefordert, die Fragen selbst ein Stück weit zu interpretieren. Wie sinnvoll du das tust, wird dann vermutlich auch Gegenstand der Beurteilung sein (dies ist im Rahmen von Referaten oder Seminararbeiten so üblich und vollkommen in Ordnung).
Ich würde aber, wenn ich das so durchlese (also die Vorgaben deines Lehrers) ad hoc eher davon ausgehen, dass du die vier elementaren Wachstumsmodelle vorstellen und jeweils auf ihre Eignung zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums untersuchen sollst.
Deine Vermutung, dass das logistische Modell das geeignetste ist, möchte ich teilen und folgendermaßen begründen:
Die Wachstumsrate einer Bevölkerung, welche ohne Begrenzung der Ressourcen wächst, ist natürlicherweise proportional zum Bestand. Das ist - wie oben schon geschrieben - ein exponentieller Wachstumsvorgang.
Nur, die Ressourcen sind beschränkt. Wir wissen heute nicht, wie sich das auswirken wird, wir wissen nur eines: das einfachste Modell, welches diese Sachlage beschreibt, ist dasjenige des logistischen Wachstums. Denn dieses Wachstum läuft zu Beginn ab wie ein exponentielles, gegen Ende aber wie ein beschränktes Wachstum.
Weshalb dann also nicht gleich beschränktes Wachstum verwenden? Nun, die vier Wachstumsmodelle hängen auf vielfältige Art und Weise zusammen. Man könnte sie bspw. folgendermaßen gliedern: in zwei sog. Wachstumsprinzipien, und zwar die Prinzipen linear und exponentiell. Weiter kann man die Modelle nach der Frage gliedern, ob ein Wachstumsvorgang begrenzt ist oder nicht. Mit begrenzt meint man hier eine natürliche Grenze (im Gegensatz zu einer willkürlichen Grenze: wenn du dein Geld von der Bank abhebst, so ist der Wachstumsvorgang vorbei.  ). So entsteht aus dem linearen Wachstum das beschränkte und aus dem exponentiellen das logistische Wachstum.
Da dir ja sofort klar war, dass lineares Wachstum ungeeignet ist, so dürfte dir damit auch einleuchten, weshalb es das beschränkte Wachstum ebenfalls ist.
Oben geschilderte Zusammenhänge kann man leicht mit Hilfe der zugrundeliegenden Differentialgleichungen begründen. Ich würde das jedoch im Rahmen eines Referates nur dann tun, wenn die Differentialgleichungen auch Gegenstand desselbigen sind.
Gruß, Diophant
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