Mittelwertsatz für Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Do 24.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
| Aufgabe | Für jede feste Konstante x R hat die Gleichung
1*exp(x) = 0
immer genau eine Lösung |
Hallo!
Ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter, ich weiß nicht, wie ich die beweisen soll, außer dass ich den Mittelwertsatz anwenden soll.
Die Kurven haben ja einen Schnittpunkt laut Funktionsplotter, aber wie hilft mir das weiter?
Kann mir da jemand helfen?
Grüße HoOrst
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo HoOrst,
es ist ja die Frage nach em Schnittpunkt von [mm] $\frac{1}{e^x}$ [/mm] und $x+c$ dieselbe wie die nach der Nullstelle von
[mm] $f(x):=\frac{1}{e^x}-x-c$ [/mm] für festes [mm] $c\in\IR$
[/mm]
$f$ ist ja sicherlich auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert und auch stetig als Zusammensetzung stetiger Teilfunktionen
Schaue dir mal [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}$ [/mm] an und ziehe mit dem Zwischenwertsatz deine Schlüsse.
Das liefert dir die Existenz einer Nullstelle...
Was die Eindeutigkeit angeht, übelege dir Folgendes:
Wenn die Funktion eine weiter NST hätte, so müsste sie ein Extremum haben, der Graph der Funktion müsste ja irgendwo "umdrehen" und wieder Richtung x-Achse verlaufen.
Kann es ein Extremum geben?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
Also, ich habe die Funktion jetzt abgeleitet und dann 0 gesetzt und komme zu nem Abbruch -> f hat keine Extremstelle
Mir ist aber immernoch unklar, wie ich mit Hilfe des Grenzwertes und des Mittelwertsatzes argumentiere. Dass die Funktion stetig ist, ist auch klar, aber wie gesagt, irgendwie fehlt mir da der Durchbruch
Grüße HoOrst
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Hallo nochmal,
ja ich hatte mich verschrieben und meinte den Zwischenwertsatz - hab's korrigiert.
Damit ist es dann klar.
Musst du das denn unbedingt mit dem MWS begründen?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 24.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
Hallo!
Danke erstmal, aber ich verstehe das nicht so ganz... Mir fehlt das Verständnis für die Argumentation mit dem ZWS.
Grüße HoOrst
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Hallo nochmal,
was sagt den der ZWS aus?
Wenn du ne Funktion hast, die stetig ist, wie $f$ hier und außerdem gilt, dass
[mm] $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$, [/mm] dann gibt es ein [mm] $\xi\in\IR$ [/mm] mit ....
Na, und dann das Argument von oben für die Eindeutigkeit
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 24.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
Ok, das hab ich verstanden  Danke
Das Problem ist nur, dass wir zwingend mit dem Mittelwertsatz argumentieren müssen und da tappe ich im dunkeln
Oder ist der Mittelwertsatz der Zwischenwertsatz?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Den ZWS brauchst du für die eine Nullstelle , der MWS geht in en Teil [mm] f'\ne0, [/mm] keine zweite Nst. ein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 24.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
Hallo!
Danke nochmal, ich denke, ich habe es jetzt endlich verstanden, würde mich aber über eine Bestätigung freuen.
Ich fasse mal kurz zusammen:
Die funktionen sind ja stetig und haben nen schnitt gdw 1/exp(x) -x -c =0
Da x gg + und - unendlich laufen lassen und zeigen, dass das keine extrema hat oder keine wendestellen hat.
Mit dem ZWS sage ich, dass zwischen + und - unendlich die achse nur einmal geschnitten wird und dann sage ich, dass es jeden funktionswert nur einmal gibt, weil es keine extrema und wendepunkte gibt.
Und wenn das gilt, gilt laut MWS, dass f ' (xy) != 0 ist => die lösung eindeutig ist
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Text ist ziemlich durcheinander!> Hallo!
> Die funktionen sind ja stetig und haben nen schnitt gdw
> 1/exp(x) -x -c =0 das willst du doch zeigen und zwar mit dem ZWS!
> Da x gg + und - unendlich laufen lassen und zeigen, dass
> das keine extrema hat oder keine wendestellen hat.
> Mit dem ZWS sage ich, dass zwischen + und - unendlich die
> achse nur einmal geschnitten wird
nein er sagt nur, dass sie mindestens einmal geschnitten wird!
>und dann sage ich, dass
> es jeden funktionswert nur einmal gibt, weil es keine
> extrema und wendepunkte gibt.
du zeigst dass f' immer ein Vorzeichen hat, und zeigst damit, unter Benutzung des Mittelwertsatzes, dass sie monoton ist. dann kann sie nach der ersten Nst keine zweite haben.
> Und wenn das gilt, gilt laut MWS, dass f ' (xy) != 0 ist
> => die lösung eindeutig ist
diesen Satz versteh ich gar nicht, er ist auf jeden Fall falsch
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst nicht unbedingt den GW nur für jedes c ein x sodass die fkt <0 und eines wo die fkt >0. Dann nicht den Mittelwertsatz, sondern den Zwischenwertsatz, und natürlich die Stetigkeit der fkt.
Gruss leduart
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