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| Aufgabe | | f(x) = [mm] 1/2x^4 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 4 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Nachmittag,
ich habe eine Frage zur Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf folgende Aufgabe.
Zur Bestimmung von Intervallen, über denen f monoton steigend ist, ist die Lösungsmenge der Unglichung [mm] 2x^3 [/mm] - 6x [mm] \ge [/mm] 0 zu ermitteln:
[mm] 2x^3 [/mm] - 6x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] 2x(x^2 [/mm] - 3) [mm] \ge [/mm] 0
(x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge x^2 \ge [/mm] 3) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \le [/mm] 0 [mm] \wedge x^2 \le [/mm] 3)
x [mm] \ge \wurzel{3} \vee \wurzel{3} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
D.h. f ist monoton steigend in den Bereichen (- [mm] \wurzel{3}; [/mm] 0) und (- [mm] \wurzel{3} [/mm] ; [mm] \infty).
[/mm]
Ich weiß leider nicht, wie man auf die Bereiche kommt. Die x-Werte sind mir ja klar, aber die y Werte? Ich habe keine Ahnung wie man auf die 0 und aufs Unendlich kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Fr 24.03.2006 | | Autor: | moya81 |
> (x [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge x^2 \ge[/mm] 3) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\le[/mm] 0 [mm]\wedge x^2 \le[/mm]
> 3)
Hast du verstanden was du bis hier machst? Dann solltest du dir jetzt die Zwischenschritte noch ausführlicher aufschreiben. Als z.B.
[mm] $x^2 \ge3 [/mm] $ $ [mm] \gdw$ [/mm] $ [mm] x\ge\sqrt3 \vee x\le -\sqrt3$
[/mm]
> x [mm]\ge \wurzel{3} \vee \wurzel{3} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0
>
>
> D.h. f ist monoton steigend in den Bereichen (- [mm]\wurzel{3};[/mm]
> 0) und (- [mm]\wurzel{3}[/mm] ; [mm]\infty).[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht, wie man auf die Bereiche kommt. Die
> x-Werte sind mir ja klar, aber die y Werte? Ich habe keine
> Ahnung wie man auf die 0 und aufs Unendlich kommt.
>
Es geht um Intervalle (mit rechtem und linkem Rand) und nicht um einen y-Wert. Ist dir der Unterschied klar?
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Hintergrund von dem ganzen, dass eine Funktion dann monoton steigend ist, wenn die 1.Ableitung größer gleich null ist.
$f(x) = 0,5 [mm] x^4 [/mm] -3 [mm] x^2 [/mm] + 4 $
$f'(x) = [mm] 2x^3 [/mm] - 6x = [mm] 2x(x^2-3) [/mm] $
so und jetzt kommt die Ungleichung zustande:
$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw 2x(x^2-3) \ge [/mm] 0 $
Ich bezeichne die beiden Faktoren(2x und [mm] (x^2-3) [/mm] mal als a und b)
$ a*b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] ( (a [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \ge [/mm] 0)) [mm] \vee [/mm] ( (a < 0) [mm] \wedge [/mm] (b < 0)) [mm] \vee [/mm] (a=0 [mm] \vee [/mm] b=0)$
Ok jetzt erst mal die einzelnen Teile
$(a [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \gdw [/mm] (2x [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 $
$(b [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \gdw (x^2-3) \ge [/mm] 0 [mm] \gdw x^2 \ge [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \ge \wurzel{3} \vee [/mm] x [mm] \le -\wurzel{3}) [/mm] $
zusammen folgt jetzt der erste Teil:
$ ( (a [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \ge [/mm] 0)) [mm] \gdw [/mm] ( (x [mm] \ge [/mm] 0 ) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \ge \wurzel{3} \vee [/mm] x [mm] \le -\wurzel{3}) [/mm] ) $
$ [mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \ge [/mm] 0 ) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \ge \wurzel{3})) \vee [/mm] ((x [mm] \ge [/mm] 0 ) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le -\wurzel{3})$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \ge \wurzel{3}) [/mm] $ der zweite Teil ist immer FALSE
folgt also für Teil A:
$ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge \wurzel{3} \gdw (\wurzel{3}, \infty)$
[/mm]
so und jetzt das gleiche mit Teil B
$ (a < 0) [mm] \gdw [/mm] (2x < 0) [mm] \gdw [/mm] (x < 0) $
$ (b < 0) [mm] \gdw (x^2-3 [/mm] < 0) [mm] \gdw x^2 [/mm] < 3 [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \le \wurzel{3} \wedge [/mm] x [mm] \ge -\wurzel{3}) [/mm] $
zusammengesetzt:
$(a < 0) [mm] \wedge [/mm] (b < 0) [mm] \gdw [/mm] (x < 0) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \le \wurzel{3} \wedge [/mm] x [mm] \ge -\wurzel{3}) [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] ((x < 0) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \ge -\wurzel{3}) \gdw -\wurzel{3} \le [/mm] x < 0 [mm] \gdw (-\wurzel{3},0] [/mm] $
Also zusammen
[mm] $(-\wurzel{3},0] \wedge (\wurzel{3}, \infty) \wedge [/mm] (0)$
[mm] $(-\wurzel{3},0) \wedge (\wurzel{3}, \infty)$
[/mm]
Hoffe mal dass ich alles richtig gemacht hab, Ungleichungen sind nicht so meine Stärke.
Kannst ja mal kritisch draufschauen 
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Mir ist relativ klar, was ich gerechnet habe, vielleicht nicht ganz warum ich das rechne. Ich muss einmal Richtung größer Null und einmal Richtung kleiner Null bestimmen, ähnelt also der Extremwertberechnung.
Ich kann mir vorstellen, dass bei Wurzel aus 3 man Unendlich hat, weil x größer als die Wurzel aus 3 ist. Aber dann versteh ich nicht, warum beim Negativen man weiß, dass der Wert genau Null ist.
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> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
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> Mir ist relativ klar, was ich gerechnet habe, vielleicht
> nicht ganz warum ich das rechne. Ich muss einmal Richtung
> größer Null und einmal Richtung kleiner Null bestimmen,
> ähnelt also der Extremwertberechnung.
Naja nicht ganz, ne Fallunterscheidung trifft es eher.
Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn a und b beide positiv oder a und b beide negativ oder einer der beiden Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).
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> Ich kann mir vorstellen, dass bei Wurzel aus 3 man
> Unendlich hat, weil x größer als die Wurzel aus 3 ist. Aber
> dann versteh ich nicht, warum beim Negativen man weiß, dass
> der Wert genau Null ist.
das kommt nicht vom Negativen sondern aus den dritten Fall oben wenn a oder b Null sind.
hab das nur mit an das Intervall rangehängt um das ganze etwas zu vereinfachen.
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