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| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] C([a,b]) [mm] \cap [/mm] D((a,b))
-> [mm] \exists \epsilon \in [/mm] (a,b) : [mm] f'(\epsilon)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] |
Beweis: Sei g(x)= (b-a) f(x) + (a-x) f(b) + (x-b) f(a)
g(a)=g(b)=0
g stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b)
Beh.: [mm] \exists \epsilon \in [/mm] (a,b) sodass [mm] g'(\epsilon)=0 [/mm] denn dann Beweis abgeschlossen.
-> g konstant trivial
-> g nicht konstant auf [a,b]
o.B.d.A [mm] max_{x\in[a,b]} [/mm] g(x) >0
[mm] g(\epsilon) [/mm] := [mm] max_{x\in[a,b]} [/mm] g(x) , da g stetig
=> [mm] g'(\epsilon)=0 [/mm] da Maximum
Meine Frage:
WIeso kann ich sagen
o.B.d.A [mm] max_{x\in[a,b]} [/mm] g(x) >0
Das Maximum kann soch auch 0 oder kleiner sein??
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Hallo,
> Sei f [mm]\in[/mm] C([a,b]) [mm]\cap[/mm] D((a,b))
> -> [mm]\exists \epsilon \in[/mm] (a,b) : [mm]f'(\epsilon)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
>
> Beweis: Sei g(x)= (b-a) f(x) + (a-x) f(b) + (x-b) f(a)
> g(a)=g(b)=0
> g stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b)
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> Beh.: [mm]\exists \epsilon \in[/mm] (a,b) sodass [mm]g'(\epsilon)=0[/mm] denn
> dann Beweis abgeschlossen.
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> -> g konstant trivial
> -> g nicht konstant auf [a,b]
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> o.B.d.A [mm]max_{x\in[a,b]}[/mm] g(x) >0
> [mm]g(\epsilon)[/mm] := [mm]max_{x\in[a,b]}[/mm] g(x) , da g stetig
> => [mm]g'(\epsilon)=0[/mm] da Maximum
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> Meine Frage:
> WIeso kann ich sagen
> o.B.d.A [mm]max_{x\in[a,b]}[/mm] g(x) >0
> Das Maximum kann soch auch 0 oder kleiner sein??
Kleiner als 0 sicher nicht, denn g(a) = g(b) = 0.
Bei dem O.B.d.A. oben geht es um etwas anderes: Ziel des ganzen ist nur, ein Maximum oder Minimum von g in (a,b) zu bekommen. Weil dann bekommt man [mm] $g'(\varepsilon) [/mm] = 0$.
Weil g nicht konstant Null ist, gibt es mindestens einen Wert [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $g(x_0)\not= [/mm] 0$. Wenn [mm] $g(x_0) [/mm] > 0$ ist, dann nimmt die Funktion sicher das Maximum im Inneren an. Wenn [mm] $g(x_0) [/mm] < 0$, dann nimmt die Funktion das sicher Minimum im Inneren an.
Und nun nimmt man O.B.d.A. an, dass ein Maximum im Inneren angenommen wird.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 27.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Ah vielen dank.
LG
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