Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] [a,b]\to\IR [/mm] zwei mal differenzierbar und gelte f´(a) = f´(b) = 0.
Dann existiert ein Punkt [mm] c\in(a,b) [/mm] mit
|f´´(c)| [mm] \ge \bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| [/mm] |
Wenn man sich die Aufgabe anguckt fällt einem auf, dass die Aufgabe iwie mit dem Mittelwertsatz gelöst werden muss aber ich hänge da mir der Mittelwertsatz ja nichts über die zweite Ableitung aussagt
Ich habe so angefangen
[mm] \bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| [/mm]
= [mm] \bruch{2}{(b-a)}|f [/mm] ´(c)|
Jetzt habe ich keinen Schimmer wie ich hier auf die Abschätzung mit der
2ten Ableitung komme
lg eddie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm][a,b]\to\IR[/mm] zwei mal differenzierbar und gelte
> f´(a) = f´(b) = 0.
> Dann existiert ein Punkt [mm]c\in(a,b)[/mm] mit
> |f´´(c)| [mm]\ge \bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|[/mm]
> Wenn man
> sich die Aufgabe anguckt fällt einem auf, dass die Aufgabe
> iwie mit dem Mittelwertsatz gelöst werden muss aber ich
> hänge da mir der Mittelwertsatz ja nichts über die zweite
> Ableitung aussagt
>
> Ich habe so angefangen
>
> [mm]\bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{(b-a)}|f[/mm] ´(c)|
>
> Jetzt habe ich keinen Schimmer wie ich hier auf die
> Abschätzung mit der
> 2ten Ableitung komme
Komisch: ich brauche die Vor. f'(b)=0 nicht und bekomme:
Es existiert ein Punkt $ [mm] c\in(a,b) [/mm] $ mit
f´´(c) $ = [mm] \bruch{2}{(b-a)^{2}}(f(b)-f(a)) [/mm] $
Denn nach dem Satz von Taylor ex. $ [mm] c\in(a,b) [/mm] $ mit
[mm] $f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\bruch{f'(c)}{2}(b-a)^2=f(a)+\bruch{f'(c)}{2}(b-a)^2
[/mm]
FRED
>
> lg eddie
|
|
|
| |
|
Den Satz von Taylor hatten wir leider nicht also muss ich es wohl oder übel mit dem Mittelwertsatz lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Den Satz von Taylor hatten wir leider nicht also muss ich
> es wohl oder übel mit dem Mittelwertsatz lösen.
Upps ! Das ist was anderes.
Dann machst Du das so:
Setze $h(x):= f(x)+f'(x)(b-x)$ für x [mm] \in [/mm] [a,b]
Dann ist h(b)=f(b) und h(a)=f(a). Nach dem MWS gibt es ein c zwischen a und b mit
f(b)-f(a)=h(b)-h(a)= h'(c)(b-a).
Jetzt Du.
FRED
|
|
|
| |
|
Ok danke erstmal für den Rat ich habe nun erstmal
h´(c) gebildet auf zwei verschiedene Weisen
1.) Ableitung mit Produktregel
h´(c) = f´(c) + (f´´(c)(b-c) + (-1)* f´(c)) = f´´(x)(b-c)
2.)Mittelwertsatz
h´(c) = [mm] \bruch{h(b)-h(a)}{b-a}
[/mm]
So jetzt hab ich das ganze mal gleichgesetzt
und bin soweit gekommen
[mm] |\bruch{h(b)-h(a)}{b-a}| [/mm] = |f´´(c)(b-c)|
[mm] \gdw |f(b)-f(a)|*\bruch{1}{|(b-a)(b-c)|} [/mm] = |f´´(c)|
[mm] \Rightarrow |f(b)-f(a)|*\bruch{1}{(b-a)^{2}} \le [/mm] |f´´(c)|
Das ist es ja fast schon nur wie krieg ich jett noch hin dass die 2 über dem Bruch steht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 29.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> Sei f: [mm][a,b]\to\IR[/mm] zwei mal differenzierbar und gelte
> f´(a) = f´(b) = 0.
> Dann existiert ein Punkt [mm]c\in(a,b)[/mm] mit
> |f´´(c)| [mm]\ge \bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|[/mm]
> Wenn man
> sich die Aufgabe anguckt fällt einem auf, dass die Aufgabe
> iwie mit dem Mittelwertsatz gelöst werden muss aber ich
> hänge da mir der Mittelwertsatz ja nichts über die zweite
> Ableitung aussagt
>
> Ich habe so angefangen
>
> [mm]\bruch{2}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{(b-a)}|f[/mm] ´(c)|
>
Jetzt kannst du den MWS erneut anwenden auf f' im kleineren der beiden Teilintervalle [a,c] bzw. [c,b].
Du bekommst einen neuen Zwischenwert d in diesem Intervall (und damit in [a,b]), für den f''(d) die gesuchte Ungleichung erfüllt.
> Jetzt habe ich keinen Schimmer wie ich hier auf die
> Abschätzung mit der
> 2ten Ableitung komme
>
> lg eddie
|
|
|
| |
|
Hier hab ich aber ebenfalls das Problem das ich nicht weiss wie ich die 2 hinkriege. Die macht mir zu schaffen für [mm] 1/(b-a)^2 [/mm] ist mein Bews komplett
|
|
|
| |
|
> Hier hab ich aber ebenfalls das Problem das ich nicht weiss
> wie ich die 2 hinkriege. Die macht mir zu schaffen für
> [mm]1/(b-a)^2[/mm] ist mein Bews komplett
Kriegst du dadurch, dass das kürzere Teilintervall die Länge <= (b-a)/2 hat
|
|
|
|
