Mittelwertsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 08.09.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | Mittelwertsatz: Sei U [mm] \subset R^n [/mm] ...... usw
dann gilt:
f(x+ [mm] \gamma) [/mm] = f(x) + [mm] (\int_{1}^{0} Df(x+\gamma [/mm] *t) dt) * [mm] \gamma [/mm] |
Hallo! kann mir bitte jemand mal diesen Mittelwertsatz im mehrdimensionalen erklären? am besten auch irgendwie anschaulich!!!!
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Mittelwertsatz: Sei U [mm]\subset R^n[/mm] ...... usw
> dann gilt:
> $f(x+h)= f(x) + [mm] \left(\integral_{0}^{1} Df(x+h*t) dt\right) [/mm] *h$
> Hallo! kann mir bitte jemand mal diesen Mittelwertsatz
> im mehrdimensionalen erklären? am besten auch irgendwie
> anschaulich!!!!
Hallo 80,
die Integration muss natürlich von 0 bis 1 gehen,
nicht umgekehrt. Ich habe das oben korrigiert.
Zudem schreibe ich der Einfachheit halber lieber h
statt [mm] \gamma.
[/mm]
Bei f handelt es sich ja um eine Funktion mit einer
reellen Variablen [mm] x\in\IR^n [/mm] und Werten in [mm] \IR^m [/mm] .
Zu den Voraussetzungen gehört natürlich, dass alle
m Komponentenfunktionen stetig differenzierbar sein
sollen (damit die Ableitung von f und die Integration
von Df sicher gewährleistet ist).
Zum Beweis denkt man sich eine geradlinige Bahn
(Strecke) vom Punkt x zum Punkt x+h. Dabei wird
auch noch vorausgesetzt, dass diese gesamte Ver-
bindungsstrecke zur Umgebung U und damit zum
Definitionsbereich von f gehört. Die Bahn wird nun
linear parametrisiert mit einem reellen Parameter,
der von t=0 bis t=1 laufen soll. Also ist der zum
Parameterwert t [mm] (t\in[0....1] [/mm] gehörige Punkt [mm] P(t)\in\IR^n
[/mm]
$\ P(t)=x+t*h$
Für den Beweis im Einzelnen wendet man dann den
"gewöhnlichen" Mittelwertsatz für alle Komponenten
einzeln an. Einen ausführlichen Beweis findest du da:
![[]](/images/popup.gif) Mittelwertsätze (Satz 16KL)
Gruß und schönen Abend !
Al-Chwarizmi
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