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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 26.08.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
[mm] \wurzel{1+x}\le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
fur x [mm] \ge [/mm] 0 gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnte mir eventuell jemand nen ansatz geben, da ich überhaupt nicht weiß, wie ich die Aufgabe mit hilfe des MWS zeigen soll?
Wär echt nett. Schon mal danke im vorraus:)
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> Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
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> [mm]\wurzel{1+x}\le[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
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> fur x [mm]\ge[/mm] 0 gilt.
>
> Könnte mir eventuell jemand nen ansatz geben, da ich
> überhaupt nicht weiß, wie ich die Aufgabe mit hilfe des MWS
> zeigen soll?
Wende den Mittelwertsatz auf $f(x) := [mm] \sqrt{1+x}$ [/mm] an: für alle $x>0$ muss es ein [mm] $\xi \in [/mm] ]0;x[$ geben, so dass gilt
[mm]\sqrt{1+x}-\sqrt{1+0}=f'(\xi)(x-0)[/mm]
Das heisst
[mm]\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}\cdot x[/mm]
Dies ist im wesentlichen die Behauptung, sofern Du zeigen kannst, dass [mm] $\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}\leq \frac{1}{2}$ [/mm] ist. (Den Fall $x=0$ muss man gesondert betrachten, ist aber natürlich trivial).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 26.08.2007 | | Autor: | IHomerI |
Also danke schonmal für die behauptung, hat mir auf jeden Fall schonmal gezeigt, wie ich das Problem angehen kann und es ist für mich auch nachvollziehbar, wie du darauf gekommen bist.
Ich muss allerdings ehrlich sagen, dass ich nicht genau weiß, wo mich dass hinführt also was ich damit genau anfangen soll.
Falls du mir noch nen Tip geben kannst wär das echt schick ansonsten schon mal danke, dann werd ich jetzt noch n bissl knobeln ;)
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> Also danke schonmal für die behauptung, hat mir auf jeden
> Fall schonmal gezeigt, wie ich das Problem angehen kann und
> es ist für mich auch nachvollziehbar, wie du darauf
> gekommen bist.
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> Ich muss allerdings ehrlich sagen, dass ich nicht genau
> weiß, wo mich dass hinführt also was ich damit genau
> anfangen soll.
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> Falls du mir noch nen Tip geben kannst wär das echt schick
> ansonsten schon mal danke, dann werd ich jetzt noch n bissl
> knobeln ;)
Da [mm] $\sqrt{1+\xi}\geq [/mm] 1$ ist, gilt doch [mm] $\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}\leq \frac{1}{2}$, [/mm] nicht? Und wenn wir dies nun in die vereinfachte Version unserer Anwendung des Mittelwertsatzes einsetzen erhalten wir
[mm]\sqrt{1+x}-1 = \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}x \leq \frac{1}{2}x[/mm]
Damit haben wir gezeigt, dass für $x>0$ gilt
[mm]\sqrt{1+x}-1 \leq \frac{1}{2}x[/mm]
Nun brauchst Du nur noch auf beiden Seiten dieser Ungleichung 1 zu addieren und die zu beweisende Behauptung ist (für $x>0$) aus dem Mittelwertsatz hergeleitet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 26.08.2007 | | Autor: | IHomerI |
Vielen dank jetzt versteh ich wat du meinst;) Dankee
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> Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
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> [mm]\wurzel{1+x}\le[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
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> fur x [mm]\ge[/mm] 0 gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Könnte mir eventuell jemand nen ansatz geben, da ich
> überhaupt nicht weiß, wie ich die Aufgabe mit hilfe des MWS
> zeigen soll?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würde die Aufgabe lösen, indem ich 1 + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \wurzel{1+x} [/mm] betrachte.
[mm] f(x):=\wurzel{1+x}, [/mm] g(x):=1 + [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] f(x)\le [/mm] g(x).
Jetzt nimm an, daß es eine Stelle a gibt, an welcher das nicht der Fall ist, an welcher also [mm] f(a)\ge [/mm] g(a) gilt.
Betrachte jetzt die Funktion h(x):= g(x)-f(x).
Es ist h(0)=0 und h(a)<0.
Nach dem Mittelwertsatz folgt daraus was?
Nun betrachte die Ableitung der Funktion h und finde einen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 26.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
> >
> > [mm]\wurzel{1+x}\le 1 + \bruch{1}{2}x[/mm]
> >
> > fur x [mm]\ge[/mm] 0 gilt.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Könnte mir eventuell jemand nen ansatz geben, da ich
> > überhaupt nicht weiß, wie ich die Aufgabe mit hilfe des MWS
> > zeigen soll?
>
> Hallo,
>
> .
>
> Ich würde die Aufgabe lösen, indem ich [mm]1 + \bruch{1}{2}x - \wurzel{1+x}[/mm] betrachte.
Sobald man die Frage so betrachtet, kann man auch gleich längliches Herumbasteln mit dem Mittelwertsatz bleiben lassen und einfach zeigen, dass diese Funktion für $x>0$ streng monoton wachsend ist (weil deren Ableitung $>0$ ist) und für $x=0$ den Wert $0$ hat. (Wobei, zugegebenermassen, der Schluss von Ableitung $>0$ auf streng monoton wachsend wohl auch so etwas wie eine Anwendung des Mittelwertsatzes ist.)
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