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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 27.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] differenzierbar. Zu beweisen gilt:
Ist f(0)=0 und [mm] f'(x)\le\lambda [/mm] f(x) für ein festes [mm] \lambda>0 [/mm] und alle [mm] x\in[0,1], [/mm] so ist [mm] f(x)\le0 [/mm] für alle [mm] x\in[0,1]. [/mm] |
Hi,
diese Aufgabe habe ich in meiner Mitschrift gefunden.
Was is gegeben:
Sei [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] differenzierbar,
f(0)=0,
[mm] f'(x)\le\lambda [/mm] f(x) für festes [mm] \lambda>0,
[/mm]
alle [mm] x\in[0,1].
[/mm]
Zu zeigen, dass dann [mm] f(x)\le0 [/mm] für alle [mm] x\in[0,1]
[/mm]
Mein Ansatz dazu ist der Mittelwertsatz (MWS):
[mm] \bruch{f(x) - f(y)}{x - y}=f'(\varepsilon)
[/mm]
Habe die Gleichung dann mal umgestellt, aber was bringt mir das:
[mm] f(x)=f'(\varepsilon)*(x-y)+f(y)
[/mm]
Kann ich damit etwas aussagen? Ich hoffe, es gibt hier Mathematikbegeisterte oder auch andere MatheStudenten, die ähnliche Aufgaben kennen und mir hier weiterhelfen können.
Vielen Dank.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Di 27.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Du weißt natürlich, dass [mm] f'(0)\le \lambda*0 [/mm] = 0 ist
daher weißt du, dass f(x) < 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von 0 denn
f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(h)}{h} [/mm] also z.B. [0,h] durch Fortsetzung dieser Argumentatio siehst du, dass f monton fallend ist, d.h. f'(x) [mm] \le [/mm] 0 im ganzen Intervall. q.e.d
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