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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe bzgl. des Mittelwertsatzes der Differentiallösung zu rechnen doch komme einfach auf keinen grünen Zweig.
Man beweise, dass [mm] x^{n}+px+q=0 [/mm] höchstens zwei reelle Lösungen für gerade n und höchstens drei reelle Lösungen für ungerade n hat.
Der Mittelwertsatz besagt ja, dass ein x (hier [mm] x_{0}) [/mm] existiert für das [mm] f'(x_{0}) [/mm] gleich der durch die Intervallgrenzen führenden Sekante ist.
Nun habe ich mir überlegt, dass für n=2m nur eine solche Tangente existiert und für n=2m+1 (m [mm] \in \IZ) [/mm] zwei existieren.
Mein Ansatz lautet mit dem von mir geg. Intervall [a,b]:
[mm] f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=\bruch{b^{n}+pb+q-a^{n}-pa-q}{b-a}
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=\bruch{b^{n}-a^{n}}{b-a}+p
[/mm]
[mm] f'(x)=nx^{n-1}+p
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=n*x_{0}^{n-1}+p=\bruch{b^{n}-a^{n}}{b-a}+p
[/mm]
[mm] x_{0}=\bruch{b^{n}-a^{n}}{b-a}^{\bruch{1}{n-1}}
[/mm]
Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich die Existenz dieser beiden / drei Lösungen beweisen soll. Stimmt mein Ansatz denn überhaupt?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß, Molch
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Hallo Molch,
ich glaube, der von dir eingeschlagene weg wird nicht zum ziel führen... 
ich würde das ganze ein bißchen einfacher angehen. du betrachtest die funktion
[mm] $f(x)=x^n+px+q$
[/mm]
bzw. dich interessieren ihre nullstellen. da man (zumindest ich...) durch reines hinschauen bei dieser funktion nicht viel ablesen kann, bildet man die ableitung:
[mm] $f'(x)=nx^{n-1}+p$
[/mm]
und da sieht das schon ganz anders aus! Was kannst du nämlich über die anzahl der nullstellen der ableitung aussagen?
und wenn du diesen schritt gemacht hast, kannst du auch rückschlüsse auf die nullstellen der ausgangsfunktion $f$ ziehen, und zwar mithilfe des mittelwertsatzes.
Viel erfolg und VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Di 22.11.2005 | | Autor: | Molch |
Danke, ich werde noch einmal versuchen die Aufgabe mit dieser Herangehensweise zu lösen!
Viele Grüße
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