Mittelpunkt einer Kugel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
folgende aufgabe bereitet mit probleme:
Im [mm] R^3 [/mm] sind folgende Ebenen [mm] E_1, E_2 [/mm] und folgende Gerade g gegeben:
[mm] E_1: x_1-2*x_2+2*x_3-15=0
[/mm]
[mm] E_2: x_1-2*x_2+2*x_3-33=0
[/mm]
g: [mm] R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Auf g liegt der Mittelpunkt einer Kugel, die sowohl [mm] E_1 [/mm] als auch [mm] E_2 [/mm] berührt. Ermitteln sie für diese Kügel eine Koordinatengleichung, die bzgl. K (kartesisches Koordinatensystem) gilt.
Eigentlich kann ich mit dieser Aufgabe nicht so richtig was anfangen. Ich weiß nicht mal, wo ich da anfangen soll. Gut, ich würde sagen, die beiden Ebenen sind parallel zueinander. Um auf die Koordinatengleichung der Kugel zu kommen, brauch ich den Mittelpunkt der Kugel. Aber ich habe ja nur die Gerade g gegeben, die durch diesen geht. Tut mir leid, ich weiß so gar nicht weiter...
Hoffe mir kann jemand helfen!
grüße anne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Di 23.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hallo sunshine111!
Versuch mal die Formel für Punkt-Ebene Abstand zu verwenden. Das stimmt, die Ebenen E1 und E2 sind parallel.
Da, der Mittelpunkt auf der Gerade g liegt, sind seine Koordinaten (r;0;0)
Abstand von Punkt (m1;m2; m3) bis Ebene E Ax1+Bx2+Cx3+D=0 :
A1 = |Am1 + Bm2 + Cm3| / [mm] (\wurzel{A²+B²+C²}) [/mm] = |r [mm] -15|/(\wurzel{1²+(-2)²+(2)²} [/mm] )= |r-15|/3
Analog ist A2 = |r-33|/3
Die Abstände A1 und A2 sind gleich, aber man sollte berücksichtigen, dass
die Berührungspunkte an verschidenen Seiten von der Gerade g liegen.
Also, ohne Betrag müssen wir die Abstände so gleichsetzen:
r-15/3 = -(r-33)/3
2r = 48
r = 24
Also Mittelpunkt hat Koordinaten (24;0;0)
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Danke für die schnelle Antwort!
Eine Frage hätte ich aber noch...
Am Ende setzt du ja A1 und A2 gleich. Warum bringst du auf der rechten Seite ein Minus an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 23.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Am Ende setzt du ja A1 und A2 gleich. Warum bringst du auf
> der rechten Seite ein Minus an?
Ok. Es ist ohne Graphik schwer zu erklären. Ich versuche es trotzdem.
Also M ist der Mittelpunkt der Kugel. [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] sind seine Berührungspunkte mit Ebnen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}. [/mm]
Da die Ebenen parallel sind, liegen [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] auf eine Gerade, die orthogonal zur Gerade g ist. Die Abstände [mm] |MB_{1}| [/mm] und [mm] |MB_{2}| [/mm] sind gleich und gleich Radius der Kugel.
Also die Punkte [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] liegen symmetrisch an der Gerade g.
Stell dir vor du hast zwei solchen Punkte mit bekannten Koordinaten. Wenn du deren Abstand zur Gerade g berechnest stellst du fest, dass in einem Fall eine negative Zahl rauskommt und in anderem Fall eine positive. . Es liegt an der verschiedenen Orientierung von Vektoren [mm] \overrightarrow{MB_{1}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{MB_{2}}.
[/mm]
Deswegen in allen Abstand-Formeln steht ein Betrag.
In deinem Fall sind die Koordinaten von Punkte [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] unbestimmt, aber aus der Tatsache, dass diese Punkte an der Gerade g symmetrisch liegen, kann man behaupten, dass die beiden Abstände von Betrag gleich sind und ohne Betrag unterschiedliche Vorzeichen haben.
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Durchstoßpunkt der Gerade mit [mm]E_1[/mm] ist [mm]D_1 = (15,0,0)[/mm], und mit [mm]E_2[/mm] ist es [mm]D_2 = (33,0,0)[/mm] (zur Berechnung sind [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] in den Ebenengleichungen nur gleich 0 zu setzen, denn die Gerade ist ja die [mm]x_1[/mm]-Achse). Mitte zwischen 15 und 33 ist 24. Also ist [mm]M = (24,0,0)[/mm] der gesuchte Mittelpunkt.
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