Mit Substitution PDGL lösen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich weiss nicht so recht, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll...
[mm] x^2 [/mm] zxx [mm] -y^2 [/mm] zyy +x zx -y zy = 0
Mit Hilfe der Substitution [mm] \alpha [/mm] (x,y) = y/x und [mm] \beta [/mm] (x,y) = xy soll man die allgemeine Lösung von z(x,y) bestimmen
Hat jemand ne Idee, was ich da substituieren soll?
Hab da irgendwie überhaupt keinen Ansatz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Darthwader!
Hier ist m.E. die Aufgabe(nstellung) unklar ... sollen das jeweils die partiellen Ableitungen sein?
[mm] $x^2*z_{xx}-y^2*z_{yy} +x*z_x -y*z_y [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Darthwader |
Hallo
die Aufgabe wie du sie geschrieben hast is richtig
und man soll die allgemeine Lösung z(x,y) der o.g. partiellen Differentialgleichung mittels Substitution finden
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> Hallo
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> ich weiss nicht so recht, wie ich bei folgender Aufgabe
> vorgehen soll...
>
> [mm]x^2 z_{xx} -y^2 z_{yy} +x z_x -y z_y = 0[/mm].
>
> Mit Hilfe der Substitution [mm]\alpha[/mm] (x,y) = y/x und [mm]\beta[/mm]
> (x,y) = xy soll man die allgemeine Lösung von z(x,y)
> bestimmen
>
> Hat jemand ne Idee, was ich da substituieren soll?
> Hab da irgendwie überhaupt keinen Ansatz
Kettenregel:
[mm] z_x = \bruch{\partial z}{\partial x} = \bruch{\partial z}{\partial \alpha} \bruch {\partial\alpha}{\partial x} + \bruch{\partial z}{\partial \beta} \bruch {\partial\beta}{\partial x} = -\bruch{y}{x^2}\bruch{\partial z}{\partial \alpha} +y \bruch{\partial z}{\partial \beta} [/mm] Analog für die anderen Ableitungen.
Verbleibende Terme x und y kannst du über [mm]x^2=\beta/\alpha[/mm] und [mm]y^2 = \beta\alpha[/mm] ersetzen. Dadurch bekommst du eine partielle DGL für [mm]z(\alpha,\beta)[/mm].
Grüße
Rainer
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Hi
Wie lautet dann nach der Kettenregel [mm] z_{xx} [/mm] allgemein.
Danke schonmal im vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:18 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
[mm] z_{xx}=(z_x)_x [/mm] = [mm] \bruch{\partial \bruch{\partial z}{\partial x}}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial (\bruch{\partial z}{\partial \alpha} \bruch {\partial\alpha}{\partial x} + \bruch{\partial z}{\partial \beta} \bruch {\partial\beta}{\partial x})}{\partial x} =\bruch{\partial (\bruch{\partial z}{\partial \alpha} \bruch {\partial\alpha}{\partial x})}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial (\bruch{\partial z}{\partial \beta} \bruch {\partial\beta}{\partial x})}{\partial x} =\bruch{\partial^2 z}{\partial \alpha \partial x} \bruch {\partial\alpha}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial z}{\partial \alpha} \bruch {\partial^2\alpha}{\partial^2 x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial \beta \partial x} \bruch {\partial\beta}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial z}{\partial \beta} \bruch {\partial^2\beta}{\partial^2 x}
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial^2 z}{\partial^2 \alpha} (\bruch{\partial\alpha}{\partial x})^2 [/mm] + [mm] \bruch{\partial z}{\partial \alpha} \bruch {\partial^2\alpha}{\partial^2 x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial^2 \beta} (\bruch {\partial\beta}{\partial x})^2 [/mm] + [mm] \bruch{\partial z}{\partial \beta} \bruch {\partial^2\beta}{\partial^2 x}
[/mm]
Ciao.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 16.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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