Minorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:21 Mo 01.05.2017 | | Autor: | Austinn |
| Aufgabe | Entscheide, ob die folgende Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1} [/mm] |
hallo,
meine Abschätzung sieht wie folgt aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}\ge\bruch{n^{2}}{5n^{2}}\ge\bruch{n}{5n^{2}}=\bruch{1}{5n} [/mm] und das divergiert ja bekannterweise.
Ich habe jetzt diese Fragen:
1) Ist meine Abschätzung richtig?
2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe konvergent ist. Woher weiss ich den welches Kriterium ich anwenden soll bzw. was sind Indizen?
3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Mo 01.05.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Austinn,
> Entscheide, ob die folgende Reihe konvergiert, absolut
> konvergiert oder divergiert.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}[/mm]
>
>
> hallo,
> meine Abschätzung sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}\ge\bruch{n^{2}}{5n^{2}}\ge\bruch{n}{5n^{2}}=\bruch{1}{5n}[/mm]
> und das divergiert ja bekannterweise.
Das geht auch, du kannst es aber einfacher machen und nicht bis [mm] \bruch{1}{5n} [/mm] abschätzen, sondern eine Stufe vorher:
[mm] \bruch{n^{2}}{5n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}.
[/mm]
Setze [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} + 7}{5n^{2} + 1}
[/mm]
Dann gilt: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} + 7}{5n^{2} + 1} \ge \frac{n^{2} + 7}{5n^{2}} \ge \frac{n^{2}}{5n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{5} [/mm] := [mm] b_{n}
[/mm]
Folglich gilt [mm] a_{n} \ge b_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Bilde nun die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5}
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} [/mm] divergiert offensichtlich.
Es ergibt sich die Abschätzung:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1} \ge \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5}.
[/mm]
Folglich divergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}.
[/mm]
> 2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe
> divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe
> konvergent ist. Woher weiss ich den welches Kriterium ich
> anwenden soll bzw. was sind Indizen?
Wenn du entsprechende Vergleichsreihen findest, dann ja.
In der Regel war deine Vorgehensweise genau richtig, Abschätzungen für die Folgen, auf denen die Reihen basieren, zu machen.
Dann hast du ja gesehen, worauf es hinausläuft - in dem Fall auf die divergente harmonische Reihe.
> 3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?
Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] heißt absolut konvergent, falls [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}|, [/mm] also die Reihe der Beträge [mm] |a_{n}|, [/mm] konvergiert.
Das Majorantenkriterium liefert zum Beispiel, wenn es zutrifft, eine Aussage über absolute Konvergenz, genauso wie das Quotienten- und Wurzelkriterium.
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mo 01.05.2017 | | Autor: | fred97 |
Was die vorgelegte Reihe betrifft : sie divergiert, denn die Folge der Reihenglieder ist keine Nullfolge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 01.05.2017 | | Autor: | X3nion |
> Was die vorgelegte Reihe betrifft : sie divergiert, denn
> die Folge der Reihenglieder ist keine Nullfolge
Da hast du Recht, klar!
Viel einfacher argumentiert als ich 
Gruß X3nion
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