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| Aufgabe | Berechnen Sie für die folgende Reihen jeweils, ob sie konvergieren oder divergieren.
1) 1/(2n + nsin(n))
2) [mm] (n^2+3^n)/(2^n+5^n) [/mm] |
Zu 1):
In meinen Lösungen steht: 1/(2n+nsin(n)) [mm] \ge [/mm] 1/(2n+n) =1/(3n) und weil [mm] 3\summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n div. Minorante, divergiert auch unsere Reihe.
Warum nimmt man hier 1/n? Könnte man nicht auch andere Reihen nehmen?
Zu 2):
In meinen Lösungen steht: [mm] (n^2+3^n)/2^n+5^n) [/mm] < [mm] (n^2+3^n)/5^n
[/mm]
< [mm] (3^n+3^n)/5^n [/mm] = [mm] 2(3/5)^n, [/mm] das ist eine konvergierend Majorante, also konvergiert unsere Reihe auch.
Warum nimmt man im ersten <>-Vergleich z.B. nicht [mm] (n^2+3^n)/2^n? [/mm]
Allgemein:
Wie findet man zu einer Reihe eine Majorante bzw. Minorante?
Gibt es da irgendwelche Techniken? Oder von woher weiß ich das ich bei 2) auf [mm] (n^2+3^n)/5^n [/mm] kommen muss?
Hab da so meine Probleme.
Gibt es sofort erkennbare Hinweise die auf das Majoranten/Minoranten-Kriterium deuten?
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Cyantific,
> Berechnen Sie für die folgende Reihen jeweils, ob sie
> konvergieren oder divergieren.
>
> 1) 1/(2n + nsin(n))
> 2) [mm](n^2+3^n)/(2^n+5^n)[/mm]
Ich sehe weit und breit keine Reihe ...
> Zu 1):
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> In meinen Lösungen steht: 1/(2n+nsin(n)) [mm]\ge[/mm] 1/(2n+n)
> =1/(3n) und weil [mm]3\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1/n div. Minorante,
> divergiert auch unsere Reihe.
>
> Warum nimmt man hier 1/n? Könnte man nicht auch andere
> Reihen nehmen?
Klar kann man das.
Welche divergenten Standardreihen kennst du denn so?
Die harmonische bzw. ein Vielfaches der harmonischen Reihe ist nun mal die bekannteste div. Reihe und eignet sich oft als div. Minorante ...
>
> Zu 2):
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> In meinen Lösungen steht: [mm](n^2+3^n)/2^n+5^n)[/mm] <
> [mm](n^2+3^n)/5^n[/mm]
> < [mm](3^n+3^n)/5^n[/mm] = [mm]2(3/5)^n,[/mm] das ist eine konvergierend
> Majorante, also konvergiert unsere Reihe auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Warum nimmt man im ersten <>-Vergleich z.B. nicht
> [mm](n^2+3^n)/2^n?[/mm]
Weil das divergiert, es ist doch von der Größenordnung [mm](3/2)^n[/mm] und das ist keine Nullfolge, mithin kann die Reihe [mm]\sum(3/2)^n[/mm] auch nicht konvergieren.
Du bist ja an einer konvergenten Majorante interessiert, eine divergente Majorante hilft dir nix ...
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> Allgemein:
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> Wie findet man zu einer Reihe eine Majorante bzw.
> Minorante?
> Gibt es da irgendwelche Techniken? Oder von woher weiß
> ich das ich bei 2) auf [mm](n^2+3^n)/5^n[/mm] kommen muss?
Na, du musst die Standardreihen kennen.
In diesem Falle eine geometrische Reihe [mm]\sum q^n[/mm], die ist für [mm]|q|<1[/mm] konvergent (hier hat man [mm]q=3/5<1[/mm]), für [mm]|q|\ge 1[/mm] aber divergent.
Dein Versuch, gegen [mm]\sum(3/2)^n[/mm] abzuschätzen bringt also nix!
Weiter solltest du die harmonische Reihe als div. Reihe und somit als lukrativer Minorante kennen und allgemeiner die Reihen des Typs
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm], die für [mm]s>1[/mm] konvergieren und für [mm]s\le 1[/mm] divergieren.
Die harmonische Reihe ist also die Grenzreihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
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> Hab da so meine Probleme.
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> Gibt es sofort erkennbare Hinweise die auf das
> Majoranten/Minoranten-Kriterium deuten?
Naja, das kann man so pauschal nicht sagen, kommt immer auf die Reihe und deine Erfahrung an.
Wenn in der Reihe ein Sinus- oder Kosinusterm auftritt, kann man versuchen, auszunutzen, dass [mm]|sin(z)|,|\cos(z)|\le 1[/mm] ist ...
>
> Danke im Voraus!
>
Gruß
schachuzipus
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